Để giải bài toán này, ta sẽ đi qua các bước như sau:

1. Tính phương trình mặt phẳng chứa ba điểm A, B, C
Trước tiên, ta cần tìm phương trình mặt phẳng chứa ba điểm A(2,0,1)A(2, 0, 1), B(0,−2,1)B(0, -2, 1) và C(2,2,3)C(2, 2, 3).

Gọi các vector AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC} lần lượt là:

AB→=B−A=(0−2,−2−0,1−1)=(−2,−2,0),\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -2 - 0, 1 - 1) = (-2, -2, 0), AC→=C−A=(2−2,2−0,3−1)=(0,2,2).\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 2, 2 - 0, 3 - 1) = (0, 2, 2).
Tiếp theo, ta tính tích có hướng của hai vector AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC} để tìm pháp tuyến của mặt phẳng:

AB→×AC→=∣i^j^k^−2−20022∣=i^∣−2022∣−j^∣−2002∣+k^∣−2−202∣.\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}.Cụ thể:

AB→×AC→=i^((−2)(2)−(0)(2))−j^((−2)(2)−(0)(0))+k^((−2)(2)−(−2)(0)).\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \hat{i}((-2)(2) - (0)(2)) - \hat{j}((-2)(2) - (0)(0)) + \hat{k}((-2)(2) - (-2)(0)). =i^(−4)−j^(−4)+k^(−4)=(−4,4,−4).= \hat{i}(-4) - \hat{j}(-4) + \hat{k}(-4) = (-4, 4, -4).Vậy, vector pháp tuyến của mặt phẳng là (−4,4,−4)(-4, 4, -4).
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2,0,1)A(2, 0, 1), B(0,−2,1)B(0, -2, 1), và C(2,2,3)C(2, 2, 3) có dạng:

−4(x−2)+4(y−0)−4(z−1)=0.-4(x - 2) + 4(y - 0) - 4(z - 1) = 0.Rút gọn phương trình:

−4x+8+4y−4z+4=0,-4x + 8 + 4y - 4z + 4 = 0, −4x+4y−4z+12=0,-4x + 4y - 4z + 12 = 0, x−y+z=3.x - y + z = 3.
2. Tính phương trình đường cao từ A
Để tìm tọa độ của chân đường cao HH từ điểm AA của tam giác ABCABC, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCABC và đi qua điểm A(2,0,1)A(2, 0, 1). Đường thẳng này sẽ có vector chỉ phương là vector pháp tuyến của mặt phẳng ABCABC, tức là (−4,4,−4)(-4, 4, -4).

Phương trình đường thẳng từ điểm A(2,0,1)A(2, 0, 1) theo hướng vector pháp tuyến (−4,4,−4)(-4, 4, -4) là:

x=2−4t,y=0+4t,z=1−4t.x = 2 - 4t, \quad y = 0 + 4t, \quad z = 1 - 4t.3. Tìm tọa độ chân đường cao HH
Điều kiện để điểm HH là chân đường cao, tức là điểm HH phải nằm trên mặt phẳng x−y+z=3x - y + z = 3. Thế tọa độ (x,y,z)=(2−4t,4t,1−4t)(x, y, z) = (2 - 4t, 4t, 1 - 4t) vào phương trình mặt phẳng:

(2−4t)−(4t)+(1−4t)=3.(2 - 4t) - (4t) + (1 - 4t) = 3.Rút gọn phương trình:

2−4t−4t+1−4t=3,2 - 4t - 4t + 1 - 4t = 3, 3−12t=3,3 - 12t = 3, −12t=0,-12t = 0, t=0.t = 0.4. Tính tọa độ của HH
Khi t=0t = 0, ta có tọa độ của HH:

x=2−4(0)=2,y=0+4(0)=0,z=1−4(0)=1.x = 2 - 4(0) = 2, \quad y = 0 + 4(0) = 0, \quad z = 1 - 4(0) = 1.Vậy, tọa độ của điểm HH là (2,0,1)(2, 0, 1).

5. Tính giá trị của a+b+ca + b + c
Vì HH có tọa độ (a,b,c)=(2,0,1)(a, b, c) = (2, 0, 1), ta có:

a+b+c=2+0+1=3.a + b + c = 2 + 0 + 1 = 3.Kết luận:
Giá trị của a+b+ca + b + c là 3.