Quảng cáo
2 câu trả lời 142
Để tính giá trị của biểu thức:
\[
(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) \dots (1 - \frac{1}{10^2}),
\]
chúng ta sẽ làm từng bước đơn giản một.
\[
\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) \quad \text{với} \quad n = 2, 3, 4, \dots, 10.
\]
\[
1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2}.
\]
Vì \( n^2 - 1 = (n-1)(n+1) \), ta có thể viết lại:
\[
1 - \frac{1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.
\]
Do đó, biểu thức ban đầu có thể viết lại dưới dạng:
\[
\prod_{n=2}^{10} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \prod_{n=2}^{10} \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.
\]
\[
\prod_{n=2}^{10} \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} = \prod_{n=2}^{10} \frac{n-1}{n} \times \prod_{n=2}^{10} \frac{n+1}{n}.
\]
\[
\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{9}{10}.
\]
Nhìn vào chuỗi này, ta thấy các tử số và mẫu số sẽ **hủy lẫn nhau**, và chỉ còn lại:
\[
\frac{1}{10}.
\]
\[
\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{11}{10}.
\]
Tương tự, các tử số và mẫu số sẽ hủy lẫn nhau, và chỉ còn lại:
\[
\frac{11}{2}.
\]
Giờ ta nhân lại kết quả của 2 chuỗi:
\[
\frac{1}{10} \times \frac{11}{2} = \frac{11}{20}.
\]
Vậy giá trị của biểu thức là:
\[
\boxed{\frac{11}{20}}.
\]
\[
\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{10^2}\right)
\]
Mỗi phần tử có dạng:
\[
1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}
\]
Biểu thức trở thành:
\[
\prod_{n=2}^{10} \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}
\]
Khi nhân, các số hạng chung sẽ triệt tiêu lẫn nhau ở tử và mẫu
\[
\frac{1 \cdot 11}{2 \cdot 10}
\]
Quảng cáo
Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK121162
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
81971 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
59862
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
39757
-
cày 2000 điểm đổi tên 🥵
595 điểm
-
MINH__tu
495 điểm
-
🐟祖尼⚡
235 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng☢`
235 điểm
-
๖²⁴ʱČʉէε✦ɠїɾℓ༉ 185 điểm
-
meluynsu 🤗
160 điểm
-
devestro
115 điểm
-
𓇼 ⋆｡˚ 𓆝⋆｡˚ 𓇼
115 điểm
-
Phuong Hoàng 100 điểm
-
하루토 [팜 안 둥]
90 điểm
-
Huỳnh Lam Nguyên Huỳnh 85 điểm
-
너 없는 파리
80 điểm
-
보고 싶어요
65 điểm
-
muzik quang hùng
55 điểm
-
Ben 10K
50 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 7
-
2 năm trước4999
