Câu b: Chứng minh tam giác KNHKNHKNH cân và OKOKOK là đường trung trực của HNHNHN
Chứng minh tam giác KNHKNHKNH cân:

Vì KKK là trung điểm của đoạn thẳng HCHCHC (giả thiết) nên KH=KCKH = KCKH=KC.
Do đó, tam giác KHCKHCKHC là tam giác cân tại KKK.
Hơn nữa, vì HN⊥ACHN \perp ACHN⊥AC và AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC nên tam giác HNCHNCHNC là tam giác vuông tại HHH.
Xét tam giác KNHKNHKNH, vì KH=KCKH = KCKH=KC nên KNHKNHKNH cũng là tam giác cân tại KKK (do HNHNHN là đoạn vuông góc từ HHH lên cạnh KNKNKN).
Kết luận: Tam giác KNHKNHKNH là tam giác cân tại KKK.
Chứng minh OKOKOK là đường trung trực của HNHNHN:

KKK là trung điểm của HCHCHC, nên khoảng cách từ KKK đến HHH và NNN bằng nhau.
OOO là giao điểm của AHAHAH và MNMNMN, mà MNMNMN vuông góc với AHAHAH.
Do đó, OK⊥HNOK \perp HNOK⊥HN tại KKK và chia đôi HNHNHN tại KKK, nghĩa là OKOKOK là đường trung trực của HNHNHN.
Kết luận: OKOKOK là đường trung trực của đoạn thẳng HNHNHN.

Câu c: Tìm điều kiện của tam giác ABCABCABC để AOKCAOKCAOKC là hình thang cân
Để tứ giác AOKCAOKCAOKC là hình thang cân, ta cần AOKCAOKCAOKC có hai cạnh đối song song và hai góc ở đáy bằng nhau.

Xét điều kiện để AOKCAOKCAOKC là hình thang:

Để AOKCAOKCAOKC là hình thang, ta cần có AO∥KCAO \parallel KCAO∥KC.
Vì AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC và KKK là trung điểm của HCHCHC, để AO∥KCAO \parallel KCAO∥KC, tam giác ABCABCABC phải cân tại AAA (khi đó, HHH là trung điểm của BCBCBC và KKK là trung điểm của HCHCHC, nên AO∥KCAO \parallel KCAO∥KC).
Điều kiện để AOKCAOKCAOKC là hình thang cân:

Nếu tam giác ABCABCABC cân tại AAA, thì các góc ∠OAK\angle OAK∠OAK và ∠OKC\angle OKC∠OKC sẽ bằng nhau (do tính đối xứng của tam giác cân).
Vậy, để AOKCAOKCAOKC là hình thang cân, tam giác ABCABCABC cần phải cân tại AAA.
Kết luận: Để AOKCAOKCAOKC là hình thang cân, tam giác ABCABCABC phải cân tại AAA.