Để tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\cos(85^\circ - x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), chúng ta thực hiện các bước như sau:

 Xác định các giá trị của góc có cosin bằng \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Ta biết rằng:
\[
\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Có hai giá trị góc trong khoảng \([0^\circ, 360^\circ]\) sao cho \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):

- \(\theta = 135^\circ\)
- \(\theta = 225^\circ\)

Biểu thức \(\cos(85^\circ - x)\)
Theo đề bài, ta có phương trình:
\[
\cos(85^\circ - x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
85^\circ - x = 135^\circ \quad \text{hoặc} \quad 85^\circ - x = 225^\circ
\]

Trường hợp 1: \(85^\circ - x = 135^\circ\)
\[
85^\circ - x = 135^\circ
\]
Giải phương trình:
\[
x = 85^\circ - 135^\circ = -50^\circ
\]
Vì chúng ta cần tìm nghiệm dương, ta cộng thêm 360° vào nghiệm này để đưa nó về khoảng \([0^\circ, 360^\circ]\):
\[
x = -50^\circ + 360^\circ = 310^\circ
\]

Trường hợp 2: \(85^\circ - x = 225^\circ\)
\[
85^\circ - x = 225^\circ
\]
\[
x = 85^\circ - 225^\circ = -140^\circ
\]
Cũng như trên, ta cộng thêm 360° vào nghiệm này để đưa nó về khoảng \([0^\circ, 360^\circ]\):
\[
x = -140^\circ + 360^\circ = 220^\circ
\]

Hai nghiệm dương tìm được là \(x = 310^\circ\) và \(x = 220^\circ\). Nghiệm dương nhỏ nhất là:
\[
x = 220^\circ
\]

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\cos(85^\circ - x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) là \(x = 220^\circ\).

L

Vì $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên ta có:

$85^\circ - x = 135^\circ + k \cdot 360^\circ$ hoặc $85^\circ - x = -135^\circ + k \cdot 360^\circ$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $85^\circ - x = 135^\circ + k \cdot 360^\circ$

$x = 85^\circ - 135^\circ - k \cdot 360^\circ = -50^\circ - k \cdot 360^\circ$

Trường hợp 2: $85^\circ - x = -135^\circ + k \cdot 360^\circ$

$x = 85^\circ + 135^\circ - k \cdot 360^\circ = 220^\circ - k \cdot 360^\circ$

 xét các trường hợp:

  • Trường hợp 1: $x = -50^\circ - k \cdot 360^\circ$. Để $x > 0$, ta cần $-50^\circ - k \cdot 360^\circ > 0$, suy ra $k < -\frac{50}{360} = -\frac{5}{36}$. Vì $k$ là số nguyên, nên $k \le -1$. Khi $k = -1$, ta có $x = -50^\circ + 360^\circ = 310^\circ$.

  • Trường hợp 2: $x = 220^\circ - k \cdot 360^\circ$. Để $x > 0$, ta cần $220^\circ - k \cdot 360^\circ > 0$, suy ra $k < \frac{220}{360} = \frac{11}{18}$. Vì $k$ là số nguyên, nên $k \le 0$. Khi $k = 0$, ta có $x = 220^\circ$.

 $310^\circ$ và $220^\circ$, ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất là $220^\circ$.

`=>`nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $220^\circ$.