Xét điểm A (2, 0) với các bất phương trình trong hệ:

3x+y≤63x + y \leq 63x+y≤6:

3(2)+0≤6⇒6≤6(đuˊng)3(2) + 0 \leq 6 \quad \Rightarrow \quad 6 \leq 6 \quad \text{(đúng)}3(2)+0≤6⇒6≤6(đuˊng)
x+y≤4x + y \leq 4x+y≤4:

2+0≤4⇒2≤4(đuˊng)2 + 0 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad 2 \leq 4 \quad \text{(đúng)}2+0≤4⇒2≤4(đuˊng)
x≥0x \geq 0x≥0:

2≥0(đuˊng)2 \geq 0 \quad \text{(đúng)}2≥0(đuˊng)
y≥0y \geq 0y≥0:

0≥0(đuˊng)0 \geq 0 \quad \text{(đúng)}0≥0(đuˊng)
=> Kết luận: Điểm A (2; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Miền nghiệm của bất phương trình không lấy bờ đường thẳng d:y=6−3xd: y = 6 - 3xd:y=6−3x
Hệ bất phương trình có 1 bất phương trình có dạng y≤6−3xy \leq 6 - 3xy≤6−3x (dựa vào bất phương trình thứ nhất). Khi không lấy bờ, điều này có nghĩa là miền nghiệm sẽ không bao gồm các điểm trên đường thẳng ddd. Vì vậy, miền nghiệm sẽ là phía dưới của đường thẳng này.

c) Kiểm tra điểm M (m; 2m - 1)
Điểm M thuộc miền nghiệm khi và chỉ khi thỏa mãn tất cả các bất phương trình. Ta sẽ thay yyy bằng 2m−12m - 12m−1:

3x+y≤63x + y \leq 63x+y≤6:

3m+(2m−1)≤6⇒5m−1≤6⇒5m≤7⇒m≤753m + (2m - 1) \leq 6 \quad \Rightarrow \quad 5m - 1 \leq 6 \quad \Rightarrow \quad 5m \leq 7 \quad \Rightarrow \quad m \leq \frac{7}{5}3m+(2m−1)≤6⇒5m−1≤6⇒5m≤7⇒m≤57​
x+y≤4x + y \leq 4x+y≤4:

m+(2m−1)≤4⇒3m−1≤4⇒3m≤5⇒m≤53m + (2m - 1) \leq 4 \quad \Rightarrow \quad 3m - 1 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad 3m \leq 5 \quad \Rightarrow \quad m \leq \frac{5}{3}m+(2m−1)≤4⇒3m−1≤4⇒3m≤5⇒m≤35​
x≥0x \geq 0x≥0:

m≥0(đuˊng)m \geq 0 \quad \text{(đúng)}m≥0(đuˊng)
y≥0y \geq 0y≥0:

2m−1≥0⇒2m≥1⇒m≥122m - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2m \geq 1 \quad \Rightarrow \quad m \geq \frac{1}{2}2m−1≥0⇒2m≥1⇒m≥21​
Kết hợp tất cả lại, ta có:

12≤m≤75(vıˋ 53>75)\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{7}{5} \quad \text{(vì } \frac{5}{3} > \frac{7}{5} \text{)}21​≤m≤57​(vıˋ 35​>57​)=> Kết luận: Điều kiện đúng là 12≤m≤1\frac{1}{2} \leq m \leq 121​≤m≤1 vì mmm không thể lớn hơn 1.

d) Xét biểu thức F(x,y)=2x+yF(x,y) = 2x + yF(x,y)=2x+y
Ta muốn tìm giá trị lớn nhất của F(x,y)F(x, y)F(x,y) trên miền nghiệm.

Xét các điểm cực biên của miền nghiệm:

Giao điểm giữa 3x+y=63x + y = 63x+y=6 và x+y=4x + y = 4x+y=4:

Từ x+y=4x + y = 4x+y=4 => y=4−xy = 4 - xy=4−x
Thay vào 3x+(4−x)=63x + (4 - x) = 63x+(4−x)=6 => 2x=22x = 22x=2 => x=1x = 1x=1 => y=3y = 3y=3 (điểm (1, 3))
Giao điểm giữa 3x+y=63x + y = 63x+y=6 và y=0y = 0y=0:

3x=63x = 63x=6 => x=2x = 2x=2 => (2,0)(2, 0)(2,0)
Giao điểm giữa x+y=4x + y = 4x+y=4 và y=0y = 0y=0:

x=4x = 4x=4 => (4,0)(4, 0)(4,0)
Giao điểm giữa x=0x = 0x=0 và y=0y = 0y=0: (0,0)(0, 0)(0,0)
Tính giá trị của F(x,y)F(x,y)F(x,y) tại các điểm:

Tại (2,0)(2, 0)(2,0): F(2,0)=2(2)+0=4F(2, 0) = 2(2) + 0 = 4F(2,0)=2(2)+0=4
Tại (1,3)(1, 3)(1,3): F(1,3)=2(1)+3=5F(1, 3) = 2(1) + 3 = 5F(1,3)=2(1)+3=5
Tại (0,4)(0, 4)(0,4): F(0,4)=2(0)+4=4F(0, 4) = 2(0) + 4 = 4F(0,4)=2(0)+4=4
Tại (0,0)(0, 0)(0,0): F(0,0)=0F(0, 0) = 0F(0,0)=0
=> Giá trị lớn nhất của F(x,y)F(x, y)F(x,y) là 5 tại điểm (1,3)(1, 3)(1,3).

Kết luận tổng quát
a) Điểm A (2; 0) thuộc miền nghiệm.
b) Miền nghiệm không lấy bờ đường thẳng d:y=6−3xd: y = 6 - 3xd:y=6−3x.
c) Điểm M thuộc miền nghiệm khi và chỉ khi 12≤m≤1\frac{1}{2} \leq m \leq 121​≤m≤1.
d) Giá trị lớn nhất của F(x,y)F(x, y)F(x,y) bằng 5.

a) 

- Thay \(A(2, 0)\) vào bất phương trình \(3x + y \leq 6\): 

  \(3(2) + 0 = 6 \leq 6\) (đúng).

- Thay \(A(2, 0)\) vào bất phương trình \(x + y \leq 4\): 

  \(2 + 0 = 2 \leq 4\) (đúng).

- Thay \(A(2, 0)\) vào bất phương trình \(x \geq 0\): 

  \(2 \geq 0\) (đúng).

- Thay \(A(2, 0)\) vào bất phương trình \(y \geq 0\):

  \(0 \geq 0\) (đúng).

`=>` Điểm \(A(2, 0)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

b)

`+` Miền nghiệm của bất phương trình \((*)\) không lấy bờ đường thẳng \(d: y = 6 - 3x\): Sai, miền nghiệm vẫn bao gồm đường thẳng này do bất phương trình là \(\leq\) (lấy cả bờ).

c) 

- Với \( \frac{1}{2} \leq m \leq 1\):

  Bất phương trình \(3x + y \leq 6\):

  \(3m + (2m - 1) \leq 6 \Rightarrow 5m - 1 \leq 6 \Rightarrow 5m \leq 7 \Rightarrow m \leq \frac{7}{5}\) (luôn đúng vì \( m \leq 1\)).

  Bất phương trình \(x + y \leq 4\):

  \(m + (2m - 1) \leq 4 \Rightarrow 3m - 1 \leq 4 \Rightarrow 3m \leq 5 \Rightarrow m \leq \frac{5}{3}\) (luôn đúng vì \( m \leq 1\)).

`=>` \(M(m, 2m - 1)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình khi \( \frac{1}{2} \leq m \leq 1\).

d) 

  - \(A(0, 0)\)

  - \(B(2, 0)\)

  - \(C(0, 4)\)

-

  - \(F(A) = F(0, 0) = 0\)

  - \(F(B) = F(2, 0) = 4\)

  - \(F(C) = F(0, 4) = 4\)

`=>` Giá trị lớn nhất của \(F(x, y)\) là 4, không phải 5.