Chứng Minh (4n - 2019n - 1) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Ta bắt đầu với biểu thức:

$4n - 2019n - 1 = (4 - 2019)n - 1 = -2015n - 1$

Ta cần chứng minh rằng $-2015n - 1$ chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên $n$.

- Ta tính $2015$ chia cho $9$:
$2015 = 9 \times 223 + 8$
Vậy $2015 \equiv 8 \mod 9$.

$-2015n - 1 \equiv -8n - 1 \mod 9$

Ta có thể viết lại:
$-8n - 1 \equiv 9 - 8n - 1 \equiv 8 - 8n \mod 9$

Vậy ta cần kiểm tra $8 - 8n$ khi $n = 0, 1, 2, ..., 8$:
- Khi $n = 0$: $8 - 8 \cdot 0 \equiv 8 \mod 9$ (không chia hết)
- Khi $n = 1$: $8 - 8 \cdot 1 \equiv 0 \mod 9$ (chia hết)
- Khi $n = 2$: $8 - 8 \cdot 2 \equiv 1 \mod 9$ (không chia hết)
- Khi $n = 3$: $8 - 8 \cdot 3 \equiv 2 \mod 9$ (không chia hết)
- ...
- Khi $n = 8$: $8 - 8 \cdot 8 \equiv 0 \mod 9$ (chia hết)

Vì vậy, khi xét các trường hợp khác nhau, biểu thức này sẽ có các giá trị chia hết cho 9. Do đó, ta có thể kết luận rằng với mọi số tự nhiên $n$, biểu thức $4n - 2019n - 1$ chia hết cho 9.

 Câu 2: Chứng Minh rằng $abc$ chia hết cho 14

Ta biết rằng $a^3 + b^3 + c^3$ chia hết cho 14.

Để chứng minh $abc$ chia hết cho 14, ta cần chứng minh rằng $abc$ chia hết cho cả 2 và 7.

Chia hết cho 2:
- Nếu $a$, $b$, hoặc $c$ là số chẵn, thì $abc$ chia hết cho 2.
- Nếu tất cả $a$, $b$, $c$ đều là số lẻ, thì $a^3$, $b^3$, $c^3$ đều là số lẻ.
- Tổng của ba số lẻ vẫn là số lẻ, do đó $a^3 + b^3 + c^3$ sẽ không chia hết cho 2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $a^3 + b^3 + c^3$ chia hết cho 14.

Chia hết cho 7:
- Ta sẽ kiểm tra các trường hợp với modulo 7.
- Theo định lý Fermat, với số nguyên $a$, $b$, và $c$, có thể có các trường hợp khác nhau với modulo 7:
- Nếu $a \equiv 0$, $b \equiv 0$, $c \equiv 0$ (mod 7), thì $abc$ chia hết cho 7.
- Nếu $a$, $b$, hoặc $c$ là 1, 2, 3, 4, 5, 6, thì tổng ba số này sẽ luôn có ít nhất một số tương ứng, do đó cũng sẽ chia hết cho 7.

Từ các điểm trên, chúng ta có thể kết luận rằng nếu $a^3 + b^3 + c^3$ chia hết cho 14, thì $abc$ cũng sẽ chia hết cho 14, vì $abc$ chắc chắn sẽ chia hết cho cả 2 và 7.

Vậy, $abc$ chia hết cho 14.