Chúng ta sẽ giải bài toán theo hai phần a) và b) như yêu cầu.

### Phần a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

1. **Điểm D là trung điểm của AB**: Từ định nghĩa, chúng ta có \( AD = DB \).

2. **Điểm F được lấy trên tia đối của DC sao cho \( DF = DC \)**. Từ đó, chúng ta có:
\[
DF = DC \implies DF + DC = 2DC.
\]

3. **Xét tam giác DCF**: Do \( DF = DC \), tam giác DCF là tam giác đều với cạnh \( DF \). Điều này ngụ ý rằng góc \( DFC = 60^\circ \) và \( DCF = 60^\circ \).

4. **Vì F thuộc tia đối của DC nên góc DCF = góc DCA**. Từ đó suy ra rằng \( \angle DCA = \angle DCF \) => Góc DCA và DCF bằng nhau.

5. **Do là tứ giác chứa các cạnh đối song song**:
\[
AD \parallel CF \quad \text{vì} \quad F nằm trên tia đối và DC \text{ được xác định là trung điểm.}
\]
Tương tự, với điểm C, ta cũng có:
\[
BC \parallel AD.
\]

6. **Kết luận**: Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song (AD // CF và AB // CD), do đó ABCD là hình bình hành.

### Phần b) Chứng minh AG = CH

1. **Xét các điểm**:
- E là trung điểm của AC.
- G là giao điểm của đường thẳng kẻ qua E vuông góc với tia phân giác của góc ABC và đường thẳng AB.
- H là giao điểm của đường thẳng kẻ qua E vuông góc với tia phân giác của góc ABC và đường thẳng BC.

2. **Có đường thẳng EQ vuông góc với tia phân giác**: Tia phân giác chia góc ABC thành hai góc bằng nhau. Khi kẻ đường thẳng qua E vuông góc với tia phân giác, ta có thể thấy rằng AG và CH là các đoạn vuông góc với phân giác của góc ABC.

3. **Sử dụng tính chất của phân giác**: Từ định nghĩa, ta biết rằng phân giác chia các đoạn thẳng tạo nên hai phần đối xứng nhau liên quan đến các cạnh của tam giác (hình tam giác tại E).

4. **Suy ra**: Vì điểm E là trung điểm của AC và AG và CH là các đoạn được tạo thành do đường thẳng đi qua E vuông góc với các cạnh AB và BC, ta có:
\[
AG = CH.
\]

5. **Kết luận**: Vì AG và CH đều được tạo bởi các đoạn thẳng nằm trên phân giác và E là trung điểm, ta có \( AG = CH \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh các yêu cầu trong bài toán.