Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x, y) = x^2 - 2x(y + 1) + 2y^2 + 4y + 50 \), ta sẽ thực hiện phân tích và tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) để tối ưu hóa biểu thức.

### Bước 1: Xác định biểu thức theo biến \( x \)

Trước tiên, ta có thể nhóm lại theo \( x \):

\[
f(x, y) = x^2 - 2x(y + 1) + 2y^2 + 4y + 50
\]

### Bước 2: Đưa về dạng hoàn toàn bình phương

Biểu thức theo \( x \) có dạng:

\[
f(x, y) = (x - (y + 1))^2 + 2y^2 + 4y + 50 - (y + 1)^2
\]

Tính toán phần hằng số:

\[
(y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1
\]
\[
f(x, y) = (x - (y + 1))^2 + 2y^2 + 4y + 50 - (y^2 + 2y + 1)
\]
\[
= (x - (y + 1))^2 + (2y^2 - y^2) + (4y - 2y) + (50 - 1)
\]
\[
= (x - (y + 1))^2 + y^2 + 2y + 49
\]

### Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất theo biến \( x \)

Biểu thức \( (x - (y + 1))^2 \) luôn không âm và đạt giá trị bằng 0 khi \( x = y + 1 \).

### Bước 4: Tối ưu hóa phần còn lại theo biến \( y \)

Ta có:

\[
g(y) = y^2 + 2y + 49
\]

Tính đạo hàm:

\[
g'(y) = 2y + 2
\]

Đặt \( g'(y) = 0 \):

\[
2y + 2 = 0 \implies y = -1
\]

### Bước 5: Kiểm tra cực trị

Ta tính giá trị của hàm \( g(y) \) tại \( y = -1 \):

\[
g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 49 = 1 - 2 + 49 = 48
\]

### Bước 6: Tìm giá trị tương ứng của \( x \)

Khi \( y = -1 \), ta có \( x = y + 1 = -1 + 1 = 0 \).

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x, y) \) xảy ra tại \( (x, y) = (0, -1) \) và giá trị nhỏ nhất là:

\[
f(0, -1) = 48
\]

Vậy \( x = 0 \) và \( y = -1 \) là nghiệm tìm được để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

...Xem thêm

Answer 2