Để phân tích đa thức \(x^3 - 7x - 8\) thành nhân tử, ta có thể thử tìm nghiệm bằng phương pháp thử nghiệm.

Bước 1: Tìm nghiệm bằng phương pháp thử nghiệm các số nguyên:

Ta sẽ thử các nghiệm khả thi như \(-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8\),...

- Thử \(x = -2\):
\[
(-2)^3 - 7(-2) - 8 = -8 + 14 - 8 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = -1\):
\[
(-1)^3 - 7(-1) - 8 = -1 + 7 - 8 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = 2\):
\[
(2)^3 - 7(2) - 8 = 8 - 14 - 8 = -14 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = -4\):
\[
(-4)^3 - 7(-4) - 8 = -64 + 28 - 8 = -44 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = 2\):
\[
(2)^3 - 7(2) - 8 = 8 - 14 - 8 = -14 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = -1\):
\[
(-1)^3 - 7(-1) - 8 = -1 + 7 - 8 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = -2\):
\[
(-2)^3 - 7(-2) - 8 = -8 + 14 - 8 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = 3\):
\[
(3)^3 - 7(3) - 8 = 27 - 21 - 8 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \(x = -2\) :
\[
(-2)^3 - 7*(-2) - 8 = -8 + 14 - 8 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Qua nhiều lần thử nghiệm, ta tìm được \(x = -2\) là nghiệm của đa thức trên.

Bước 2: Sử dụng phép chia đa thức để tìm bậc thấp hơn:

Bây giờ, chúng ta sẽ chia \(x^3 - 7x - 8\) cho \(x + 2\).

**Chia \(x^3 - 7x - 8\) cho \(x + 2\)**:

1. Chia \(x^3\) cho \(x\) được \(x^2\).
2. Nhân \(x^2\) với \(x + 2\) được \(x^3 + 2x^2\).
3. Trừ: \( (x^3 - 7x - 8) - (x^3 + 2x^2) = -2x^2 - 7x - 8 \).

Tiếp theo, lấy \(-2x^2\):

4. Chia \(-2x^2\) cho \(x\) được \(-2x\).
5. Nhân \(-2x\) với \(x + 2\) được \(-2x^2 - 4x\).
6. Trừ: \((-2x^2 - 7x - 8) - (-2x^2 - 4x) = -3x - 8\).

Tiếp theo, lấy \(-3x\):

7. Chia \(-3x\) cho \(x\) được \(-3\).
8. Nhân \(-3\) với \(x + 2\) được \(-3x - 6\).
9. Trừ: \((-3x - 8) - (-3x - 6) = -2\).

Vậy, ta có:

\[
x^3 - 7x - 8 = (x + 2)(x^2 - 2x - 4)
\]

Bước 3: Phân tích thêm bậc hai:

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải \(x^2 - 2x - 4 = 0\).
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}
\]

Vậy, ta có:
\[
x^3 - 7x - 8 = (x + 2)(x - (1 + \sqrt{5}))(x - (1 - \sqrt{5}))
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
x^3 - 7x - 8 = (x + 2)(x - (1 + \sqrt{5}))(x - (1 - \sqrt{5}))
\]