Để giải bài toán hình học với hình thang cân ABCD, chúng ta sẽ tính từng câu một.

### Câu a: Chứng minh DH = CK
- **Giả thiết**: H là giao điểm giữa đường vuông góc AH (từ A) và cạnh CD; K là giao điểm giữa đường vuông góc BF và CD.
- **Chứng minh**: Trong hình thang cân ABCD, các cạnh AB và CD song song và các cạnh bên AD và BC đều có độ dài bằng nhau.
1. Vì AH vuông góc với CD, nên DH là chiều cao từ H đến D.
2. Tương tự, CK là chiều cao từ K đến C.
3. Do tính chất đối xứng của hình thang cân, ta có DH = CK.

### Câu b: Tính góc AHK, góc BAD
- **Giả thiết**: Góc D = 70°.
- **Tính**:
- Vì CD là đường thẳng, nên góc C + góc D + góc A + góc B = 360°.
- Với hình thang cân, góc A = góc B và góc C = góc D.
- Do đó, góc A + góc D = 180°, suy ra góc A = 180° - góc D = 110°.
- Từ đó, góc AHK là góc vuông tại H, do AH vuông góc với CD, nên góc AHK = góc A - 90° = 110° - 90° = 20°.

### Câu c: Tính AD, AC
- **Giả thiết**: AB = 10cm, CD = 30cm, AH = 3cm.
- **Tính**:
1. Để tính độ dài AD và AC, ta áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AHD và BHC.
2. Với AD: \( AD = \sqrt{AH^2 + DH^2} \)
- Ta cần tính DH. Vì DH = CK và với AB = 10cm, theo hình thang cân, trung bình của CD và AB sẽ là:
\( DH = \frac{CD - AB}{2} = \frac{30 - 10}{2} = 10cm \).
- Do đó:
\( AD = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10.44 cm \).
3. Tương tự, với AC:
- AC = AD + DC = \( AD + 10 = 10.44 + 10 = 20.44 cm \).

### Câu d: Vẽ DM là tia phân giác của ADC
- Để vẽ DM là tia phân giác của góc ACD, ta vẽ điểm M trên AC sao cho DM chia đôi góc ACD.
- Sau đó, vẽ đường thẳng song song với CD qua M cắt AD tại điểm I.

### Câu e: Chứng minh ID = IM
- **Chứng minh**:
- Vì DM là tia phân giác của góc ADC, theo định lý phân giác góc, ta có tỷ lệ:
\(\frac{AD}{DC} = \frac{ID}{IM}\).
- Với AB song song với CD, sẽ có hai tam giác đồng dạng là \( \triangle IDM \sim \triangle ACD \).
- Do đó, từ tính chất của đường thẳng song song, ta có: \( ID = IM \).

Hy vọng các giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ bài toán này hơn!