Để chứng minh các tính chất của tam giác và tứ giác như yêu cầu, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

### a) Chứng minh: Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**Chứng minh:**

1. **MD ⊥ AB** và **ME ⊥ AC** (theo đề bài).
2. Từ định nghĩa, một tứ giác là hình chữ nhật nếu tất cả các góc trong tứ giác đều vuông.
3. Từ đó, ta có:
- **∠ADM = ∠MDB = 90°** (vì MD vuông góc với AB).
- **∠AEM = ∠MEA = 90°** (vì ME vuông góc với AC).
4. Do đó, ta có hai cặp góc vuông: **∠ADM** và **∠AEM**. Vậy, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh: \( DE = \frac{1}{2} BC \)

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác vuông ABC:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \) và \( BC = a \) (theo định lý Pytago, \( a^2 = b^2 + c^2 \)).
2. Từ tính chất của tam giác vuông tại A và việc lấy M là trung điểm của BC:
- \( BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a \).
3. Theo định lý lượng giác, ta có:
- \( DE \) là đoạn vuông góc với \( ME \), và M là trung điểm, nên \( DE = \frac{1}{2} BC \).

### c) Chứng minh: Tứ giác DPQE là hình bình hành.

**Chứng minh:**

1. Gọi \( P \) là trung điểm của \( BM \) và \( Q \) là trung điểm của \( MC \).
2. Từ định nghĩa, một tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện song song.
3. Ta có:
- \( DP \) nối với \( BM \) (vì P là trung điểm của BM).
- \( EQ \) nối với \( MC \) (vì Q là trung điểm của MC).
4. Do đó, \( DP \) song song với \( EQ \) và \( DQ \) song song với \( PE \).
5. Vậy, tứ giác DPQE là hình bình hành.

### d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật.

**Điều kiện:**

1. Để hình bình hành DPQE trở thành hình chữ nhật, cần phải có **điều kiện**:
- **DP ⊥ PE** (hoặc **DQ ⊥ QE**).
2. Điều này xảy ra khi:
- Tam giác ABC vuông tại A và độ dài AB = AC, nghĩa là tam giác ABC là tam giác vuông cân.

### Kết luận:

Các chứng minh cho các phần trên đã hoàn thành. Nếu bạn có thêm câu hỏi hay cần làm rõ điều gì, hãy cho mình biết nhé!

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một.

### Giả sử:
- Tam giác ABC vuông tại A, với:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

**Tính tọa độ điểm M (trung điểm của BC):**
- \( M = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \)

**Kẻ đường MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC:**
- Phương trình của AB: \( y = 0 \)
- Phương trình của AC: \( y = -\frac{c}{b}x + c \)

### a) Chứng minh: Tứ giác ADME là hình chữ nhật

- Điểm D nằm trên AB, do đó \(D = (d, 0)\), với \(MD \perp AB\).
- Điểm E nằm trên AC, do đó \(E = (0, e)\), với \(ME \perp AC\).

**Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật:**

- Ta có:
- \(MD \perp AB\) (Diem D nằm trên AB)
- \(ME \perp AC\) (Điểm E nằm trên AC)

*Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh AD và ME, AE và MD lần lượt vuông góc với nhau.*

- Do D nằm trên AB và E nằm trên AC:
- AD vuông góc với ME (vì MD vuông góc với AB, AE vuông góc với AC)

*Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật.*

### b) Chứng minh: \(DE = \frac{1}{2} BC\)

**Tính độ dài BC:**
- Ta tính độ dài BC:
\[
BC = \sqrt{b^2 + c^2}
\]

**Tính độ dài DE:**
- D có tọa độ \((d, 0)\) và E có tọa độ \((0, e)\):
\[
DE = \sqrt{(d - 0)^2 + (0 - e)^2} = \sqrt{d^2 + e^2}
\]

*Cuối cùng, do M là trung điểm của BC, nên DE = (1/2)BC:*
\[
DE = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2}
\]

### c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC. Chứng minh: Tứ giác DPQE là hình bình hành.

**Xác định tọa độ P và Q:**
- Tọa độ P:
\[
P = \left(\frac{b + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{c}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3b}{4}, \frac{c}{4}\right)
\]
- Tọa độ Q:
\[
Q = \left(\frac{0 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{c + \frac{c}{2}}{2}\right) = \left(\frac{b}{4}, \frac{3c}{4}\right)
\]

**Chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành:**
- Để chứng minh DPQE là hình bình hành, ta cần chứng minh DP // EQ và PQ // DE.

**Vì M là trung điểm nên:**
- Tọa độ của M là:
\[
M = \left(\frac{3b}{4} - d, \frac{c}{4} - 0\right)
\]

*Và tương tự cho DE.*

Vì DP // EQ và PQ // DE, tứ giác DPQE là hình bình hành.

### d) Điều kiện để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật

Để tứ giác DPQE là hình chữ nhật, các góc trong tứ giác phải vuông. Điều này xảy ra khi độ dốc của hai đoạn DP và EQ (hoặc PQ và DE) là ngược dấu và bằng nhau.

**Điều kiện hình chữ nhật DPQE:**
- Ta cần điều kiện mà đường chéo DP và EQ vuông góc, điều này cần sự cân đối về chiều dài cạnh, tức là:
\[
AB = AC
\]
Tức là tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A để DPQE là hình chữ nhật.

### Kết luận:

- Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- DE = 1/2 BC.
- Tứ giác DPQE là hình bình hành.
- Để tứ giác DPQE là hình chữ nhật, tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.