Để tìm tập giá trị của hàm số \( f(x) = \frac{3 - 4\cos^2(2024x + 2008)}{2} \), ta bắt đầu phân tích phần \( \cos^2(2024x + 2008) \).

Giá trị của \( \cos^2 \) nằm trong khoảng \([0, 1]\). Khi đó, ta có:

\[
\cos^2(2024x + 2008) \in [0, 1]
\]

Vì vậy, ta có:

\[
4\cos^2(2024x + 2008) \in [0, 4]
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{3 - 4\cos^2(2024x + 2008)}{2}
\]

Thay khoảng giá trị của \( 4\cos^2(2024x + 2008) \) vào hàm số:

1. Khi \( \cos^2(2024x + 2008) = 0 \):

\[
f(x) = \frac{3 - 0}{2} = \frac{3}{2}
\]

2. Khi \( \cos^2(2024x + 2008) = 1 \):

\[
f(x) = \frac{3 - 4}{2} = \frac{-1}{2}
\]

Như vậy, giá trị của \( f(x) \) nằm trong khoảng:

\[
\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]
\]

Do đó, ta có tập giá trị \( T = \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] \).

Tiếp theo, ta xác định \( a \) và \( b \):

- \( a = -\frac{1}{2} \)
- \( b = \frac{3}{2} \)

Bây giờ, tính \( A = a^2 - b^2 \):

\[
A = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2
\]

\[
= \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1 - 9}{4} = -\frac{8}{4} = -2
\]

Vậy, giá trị của \( A \) là:

\[
\boxed{-2}
\]