Để tìm giá trị của \(\tan a\) khi biết \(\sin a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), chúng ta cần áp dụng định lý lượng giác và công thức liên quan.

1. Từ \(\sin a\), chúng ta có:
\[
\sin a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

2. Dùng công thức lượng giác cơ bản:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
Để tìm \(\cos a\), trước tiên tính \(\sin^2 a\):
\[
\sin^2 a = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{16}
\]
Tính biểu thức \((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2\):
\[
(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2 + 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}
\]
Do đó:
\[
\sin^2 a = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}
\]

3. Sử dụng \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) để tìm \(\cos^2 a\):
\[
\cos^2 a = 1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}
\]
Do đó, \(\cos^2 a = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}\).

4. Tìm \(\cos a\) bằng cách lấy căn bậc hai của \(\cos^2 a\):
\[
\cos a = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}
\]

5. Cuối cùng, tính \(\tan a\) bằng công thức:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}
\]

Giá trị của \(\tan a\) được biểu diễn dưới dạng trên.