a) Chứng minh tứ giác MNCD là hình thoi
MN // AB // CD: Vì MN vuông góc với CE mà CE vuông góc với AB nên MN // AB. Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành) nên MN // CD.
MD // NC: Do AD // BC (ABCD là hình bình hành) và M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên MD // NC.
MD = NC: Vì MD là một nửa AD, NC là một nửa BC mà AD = BC (ABCD là hình bình hành) nên MD = NC.
Từ 3 điều trên: Suy ra tứ giác MNCD là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (MD = NC) nên MNCD là hình thoi.

b) Chứng minh EH = NC
Tứ giác AMHE là hình bình hành:AM // EH (gt)
AH // ME (cùng vuông góc với CE)
Suy ra AMHE là hình bình hành => AH = ME
ME = NC: Vì MNCD là hình thoi (cmt) nên MN = NC. Mà ME = MN (do AMHE là hình bình hành) nên ME = NC.
Từ 2 điều trên: Suy ra AH = NC.

c) Chứng minh tam giác EMC là tam giác cân
MF vuông góc với EC: Theo giả thiết.
MF là đường trung tuyến của tam giác MEC: Vì M là trung điểm của AD và AD = BC nên M cũng là trung điểm của EC.
Tam giác MEC có MF vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến: Suy ra tam giác MEC là tam giác cân tại M.

d) Chứng minh góc BAD = 2 góc AEM
Góc AEM = góc EMF: Vì tam giác MEC cân tại M (cmt)
Góc EMF = góc CMD: Vì MNCD là hình thoi nên đường chéo MC là phân giác của góc NMD.
Góc CMD = góc BAD: Vì MN // AB nên góc CMD và góc BAD là hai góc đồng vị.
Từ 3 điều trên: Suy ra góc AEM = góc EMF = góc CMD = góc BAD/2.
Vậy góc BAD = 2 góc AEM.

Kết luận:

Tứ giác MNCD là hình thoi.
EH = NC.
Tam giác EMC là tam giác cân tại M.
Góc BAD gấp đôi góc AEM.