Để tính \(\sin 2a\) và \(\cos 2a\) với điều kiện \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), ta sẽ sử dụng các công thức sau:

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]

\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
\]

### Bước 1: Tính \(\cos a\)

Biết rằng:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]

Thay \(\sin a = \frac{1}{3}\):

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1
\]

\[
\frac{1}{9} + \cos^2 a = 1
\]

Giải phương trình:

\[
\cos^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

Do đó:

\[
\cos a = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\]

Chọn dấu âm vì trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\) thì \(\cos a < 0\).

### Bước 2: Tính \(\sin 2a\)

Áp dụng công thức:

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\sin 2a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot -\frac{2\sqrt{2}}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{9}
\]

### Bước 3: Tính \(\cos 2a\)

Sử dụng công thức:

\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
\]

Thay các giá trị:

\[
\cos 2a = \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2
\]

Tính từng phần:

\[
\cos 2a = \frac{8}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}
\]

### Kết luận

Vậy:

\[
\sin 2a = -\frac{4\sqrt{2}}{9}
\]
\[
\cos 2a = \frac{7}{9}
\]

Để tính \(\sin 2a\) và \(\cos 2a\) biết \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), ta thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Tính \(\cos a\)

Sử dụng định lý Pythagore, ta có:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
Thay vào giá trị đã biết:
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1
\]
\[
\frac{1}{9} + \cos^2 a = 1
\]
\[
\cos^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]
Do đó:
\[
\cos a = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\]
Chọn dấu âm vì \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\) (góc a thuộc cung II).

### Bước 2: Tính \(\sin 2a\)

Sử dụng công thức nhân đôi cho sin:
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]
Thay giá trị đã tính vào công thức:
\[
\sin 2a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)
\]
\[
= -\frac{4\sqrt{2}}{9}
\]

### Bước 3: Tính \(\cos 2a\)

Sử dụng công thức nhân đôi cho cos:
\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
\]
Thay giá trị đã tính vào công thức:
\[
\cos 2a = \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2
\]
\[
= \frac{8}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}
\]

### Kết luận

Vậy kết quả là:
\[
\sin 2a = -\frac{4\sqrt{2}}{9}, \quad \cos 2a = \frac{7}{9}
\]