Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( M < \frac{3}{8} \), ta bắt đầu phân tích chuỗi:

\[
M = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \ldots + \frac{1}{3^{802}}
\]

Ta có thể viết lại chuỗi này như sau:

\[
M = \frac{1}{2^2} + \sum_{n=1}^{401} \frac{1}{3^{2n}}
\]

Bây giờ, tính giá trị của tổng:

\[
\sum_{n=1}^{401} \frac{1}{3^{2n}} = \frac{1/3^2}{1 - 1/3^2} = \frac{1/9}{1 - 1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}
\]

Do đó, ta có:

\[
M = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}
\]

Tính toán giá trị:

\[
M = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]

Tuy nhiên, vì chuỗi bắt đầu từ \( \frac{1}{3^2} \) và không bao gồm \( \frac{1}{3^0} \), nên:

\[
M = \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{401} \frac{1}{3^{2n}} < \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
M < \frac{3}{8}
\]

Chứng minh đã hoàn thành.

Answer 2

Để chứng minh \( M = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{3^{802}} \) nhỏ hơn \( \frac{3}{8} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Tách chuỗi tổng M
Quan sát rằng:

\[
M = \frac{1}{2^2} + \left( \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{3^{802}} \right)
\]

### 2. Tính giá trị \(\frac{1}{2^2}\)
\[
\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
\]

### 3. Nhận dạng chuỗi hình học
Phần còn lại của \(M\) là:

\[
S = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{3^{802}}
\]

Đây là một chuỗi hình học với công bội \( r = \frac{1}{9} \) (vì mỗi số hạng tăng thêm bậc lũy thừa của 3), và số hạng đầu tiên là \( a = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).

Tổng của chuỗi hình học vô hạn có công bội nhỏ hơn 1 là:

\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8}
\]

Nhưng vì chuỗi này chỉ có hữu hạn số hạng, nên:

\[
S < S_{\infty} = \frac{1}{8}
\]

### 4. Tính tổng M
Bây giờ ta cộng các phần lại:

\[
M = \frac{1}{4} + S < \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]

### 5. Kết luận
Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
M < \frac{3}{8}
\]

...Xem thêm

Answer 3

Để chứng minh \( M = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{3^{802}} \) nhỏ hơn \( \frac{3}{8} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Tách chuỗi tổng M
Quan sát rằng:

\[
M = \frac{1}{2^2} + \left( \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{3^{802}} \right)
\]

### 2. Tính giá trị \(\frac{1}{2^2}\)
\[
\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
\]

### 3. Nhận dạng chuỗi hình học
Phần còn lại của \(M\) là:

\[
S = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{3^{802}}
\]

Đây là một chuỗi hình học với công bội \( r = \frac{1}{9} \) (vì mỗi số hạng tăng thêm bậc lũy thừa của 3), và số hạng đầu tiên là \( a = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).

Tổng của chuỗi hình học vô hạn có công bội nhỏ hơn 1 là:

\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8}
\]

Nhưng vì chuỗi này chỉ có hữu hạn số hạng, nên:

\[
S < S_{\infty} = \frac{1}{8}
\]

### 4. Tính tổng M
Bây giờ ta cộng các phần lại:

\[
M = \frac{1}{4} + S < \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]

### 5. Kết luận
Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
M < \frac{3}{8}
\]

2 câu trả lời 451

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7