Để tính cạnh \(c\) góc \(AB\) và bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), chúng ta sẽ sử dụng định lý cosine và công thức bán kính.

### 1. Tính cạnh \(c\) góc \(AB\)

Sử dụng định lý cosine:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
\]

Với \(a = 12\), \(b = 13\), và \(C = 120^\circ\):

\[
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}
\]

Thay vào công thức:

\[
c^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

Tính từng phần:

\[
c^2 = 144 + 169 + 12 \cdot 13
\]
\[
= 144 + 169 + 78 = 391
\]
\[
c = \sqrt{391} \approx 19.77
\]

### 2. Tính bán kính \(R\)

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác được tính bằng công thức:

\[
R = \frac{abc}{4K}
\]

Đầu tiên, cần tính diện tích \(K\) của tam giác. Chúng ta có thể sử dụng công thức:

\[
K = \frac{1}{2}ab \sin(C)
\]

Với \(C = 120^\circ\):

\[
\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Thay vào công thức:

\[
K = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{78\sqrt{3}}{2} = 39\sqrt{3}
\]

Giờ tính bán kính \(R\):

\[
R = \frac{12 \cdot 13 \cdot \sqrt{391}}{4 \cdot 39\sqrt{3}}
\]

Tính toán giá trị cụ thể:

\[
R = \frac{156 \cdot \sqrt{391}}{156\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{391}}{\sqrt{3}} \approx \sqrt{\frac{391}{3}} \approx \sqrt{130.33} \approx 11.43
\]

### Kết quả

- Cạnh \(c\) (góc \(AB\)) khoảng \(19.77\).
- Bán kính \(R\) khoảng \(11.43\).