Để giải hai phương trình trên, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) \( \sin x + \tan \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1 \)

**Bước 1:** Thay \(\tan \frac{\pi}{4}\):

\[
\tan \frac{\pi}{4} = 1
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\sin x + \cos x = 1
\]

**Bước 2:** Đặt \(y = \sin x + \cos x\). Ta biết rằng:

\[
y^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x
\]

Vì vậy:

\[
\sin 2x = y^2 - 1
\]

**Bước 3:** Giải phương trình \(y = 1\):

\[
\sin x + \cos x = 1
\]

**Bước 4:** Bình phương hai vế:

\[
(\sin x + \cos x)^2 = 1^2
\]

\[
\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1
\]

Vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có:

\[
1 + 2\sin x \cos x = 1 \implies \sin x \cos x = 0
\]

**Bước 5:** Giải \(\sin x \cos x = 0\):

\(\sin x = 0\) hoặc \(\cos x = 0\).

- \(\sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi\) (với \(n \in \mathbb{Z}\))
- \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

### b) \( (\sin x + \cos x) + 3\sin x - 1 = 0 \)

**Bước 1:** Gom lại:

\[
4\sin x + \cos x - 1 = 0
\]

**Bước 2:** Thay \(\cos x\) bằng \(1 - 4\sin x\):

\[
\cos x = 1 - 4\sin x
\]

**Bước 3:** Sử dụng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\[
\sin^2 x + (1 - 4\sin x)^2 = 1
\]

**Bước 4:** Mở rộng và giải phương trình:

\[
\sin^2 x + (1 - 8\sin x + 16\sin^2 x) = 1
\]

\[
17\sin^2 x - 8\sin x + 1 = 0
\]

**Bước 5:** Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
\sin x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 1}}{2 \cdot 17}
\]

\[
\sin x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 68}}{34} = \frac{8 \pm \sqrt{-4}}{34}
\]

Phương trình này không có nghiệm thực vì có \(\sqrt{-4}\).

### Kết luận:
- Phương trình (a) có nghiệm: \(x = n\pi\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).
- Phương trình (b) không có nghiệm thực.