### Bài 1
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(AB = 5\) và \(BC = 13\). Ta sẽ tìm độ dài \(MN\), với điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là điểm cắt của đường thẳng qua \(M\) song song với \(AC\) cắt \(BC\).

1. Tính độ dài \(AC\) bằng định lý Pythagore:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12
\]

2. Tọa độ các điểm (giả sử):
- \(A(0, 0)\)
- \(B(5, 0)\)
- \(C(5, 12)\)

3. Tọa độ trung điểm \(M\):
\[
M\left(\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{5}{2}, 0\right)
\]

4. Tính độ dốc của \(AC\):
Độ dốc của \(AC\) là \(\frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5}\). Vì vậy, đường thẳng qua \(M\) song song với \(AC\) có độ dốc \(\frac{12}{5}\) và phương trình là:
\[
y - 0 = \frac{12}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right) \implies y = \frac{12}{5}x - 12
\]

5. Tìm độ dài \(MN\):
- Phương trình của \(BC\):
\[
x = 5
\]
Thay giá trị \(x\) vào phương trình trên để tìm \(N\):
\[
y = \frac{12}{5}(5) - 12 = 12 - 12 = 0 \quad \Rightarrow N(5, 0)
\]
- Đo độ dài \(MN\):
\[
MN = \sqrt{\left(\frac{5}{2} - 5\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{5}{2}
\]

**Kết luận:** \(MN = \frac{5}{2}\).

### Bài 2
Cho tam giác \(MNP\), \(K\) là trung điểm \(NP\), \(Q\) là một điểm nằm trên cạnh \(MN\) sao cho \(NQ = 2QM\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(PQ\) và \(MK\). Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(MK\).

1. Xét tọa độ:
- Đặt \(M(0, 0)\), \(N(a, b)\), \(P(c, d)\).
- Tọa độ của \(K\) là:
\[
K\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

2. Do \(NQ = 2QM\) nên tọa độ của điểm \(Q\) chia đoạn \(MN\) theo tỉ lệ \(2:1\):
\[
Q\left(\frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot a}{3}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot b}{3}\right) = Q\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}\right)
\]

3. Tính phương trình đường thẳng \(PQ\):
- Độ dốc của \(PQ\):
\[
m_{PQ} = \frac{\frac{b}{3} - d}{\frac{a}{3} - c}
\]

4. Phương trình của \(MK\):
- Đoạn \(MK\) có độ dốc bằng độ dốc \(MN\).

5. Giao điểm \(O\) chia đoạn \(MK\) thành hai phần bằng nhau, chứng minh bằng tọa độ hoặc phương trình đường thẳng.

**Kết luận:** \(O\) là trung điểm của \(MK\).

### Bài 3
Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AM\), \(D\) là giao điểm của \(BI\) và \(AC\).

a) Chứng minh \(AD = \frac{1}{2}DC\):
- Áp dụng định lý trung tuyến, đặc biệt khi xét tỉ lệ các đoạn thẳng.

b) So sánh độ dài \(BD\) và \(ID\):
- Có thể sử dụng các định lý về tam giác, định lý Pythagore hoặc định lý Menelaus để so sánh.

**Kết luận:** Sử dụng các định lý đã biết trong hình học để chứng minh và so sánh là phương pháp hợp lý cho bài toán.

Mong rằng những giải thích này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải từng bài tập!