Tập hợp \( A = [2m + 1; 2m + 8] \) là một đoạn đóng, nghĩa là gồm các giá trị từ \( 2m + 1 \) đến \( 2m + 8 \). Tập hợp \( D = (-10; -1] \) là một đoạn mở bên trái và đóng bên phải, nghĩa là gồm các giá trị lớn hơn -10 và nhỏ hơn hoặc bằng -1.

Để tìm \( m \) sao cho \( A \cap D \) chỉ có đúng 1 phần tử chung, ta cần tìm các điều kiện về khoảng cách giữa hai đoạn này.

1. **Độ dài của \( A \)**:
\[
\text{Độ dài của tập } A = (2m + 8) - (2m + 1) = 7
\]

2. **Điều kiện giao nhau của \( A \) và \( D \)**:
Để \( A \cap D \) có đúng 1 phần tử, khoảng của \( A \) phải giao với \( D \) tại đúng 1 điểm. Điều này xảy ra khi một trong hai đầu của \( A \) chạm đúng vào một giới hạn của \( D \). Cụ thể:
- \( 2m + 1 \) hoặc \( 2m + 8 \) phải bằng một giá trị trong khoảng \( (-10, -1] \).

3. **Trường hợp 1**: \( 2m + 1 = -1 \)
\[
2m = -2 \Rightarrow m = -1
\]

Khi \( m = -1 \), ta có tập hợp \( A = [2(-1) + 1; 2(-1) + 8] = [-1; 6] \). Giao với \( D = (-10; -1] \) là \( \{-1\} \), chỉ có một phần tử chung.

4. **Trường hợp 2**: \( 2m + 8 = -1 \)
\[
2m = -9 \Rightarrow m = -4.5
\]

Khi \( m = -4.5 \), ta có tập hợp \( A = [2(-4.5) + 1; 2(-4.5) + 8] = [-8; -1] \). Giao với \( D = (-10; -1] \) cũng là \( \{-1\} \), chỉ có một phần tử chung.

Vậy, hai giá trị của \( m \) để \( A \cap D \) có đúng 1 phần tử là \( m = -1 \) và \( m = -4.5 \).