Để tìm thời điểm mà số lượng ong trong đàn tăng nhanh nhất, ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( P(t) \) và xác định cực trị.

Hàm số được cho là:

\[
P(t) = \frac{20000}{1 + 1000e^{-t}}
\]

Bước 1: Tính đạo hàm \( P'(t) \).

Sử dụng quy tắc chia cho đạo hàm:

\[
P'(t) = \frac{(0)(1 + 1000e^{-t}) - 20000(-1000e^{-t})}{(1 + 1000e^{-t})^2}
\]
\[
= \frac{20000000e^{-t}}{(1 + 1000e^{-t})^2}
\]

Bước 2: Tìm điểm cực đại của \( P'(t) \).

Đạo hàm \( P'(t) \) sẽ đạt cực đại khi:

\[
P''(t) = 0
\]

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể xem xét giá trị của \( P'(t) \). Khi \( P'(t) \) đạt giá trị lớn nhất, thì \( P(t) \) tăng nhanh nhất.

Bước 3: Xác định giá trị của \( P'(t) \) để tìm cực trị.

Chúng ta có thể nhận thấy rằng \( P'(t) \) phụ thuộc vào hàm mũ \( e^{-t} \) và sẽ giảm khi \( t \) lớn hơn. Do đó, tìm thời điểm mà số lượng ong tăng nhanh nhất là thời điểm khi \( t \) gần với 0.

Bước 4: Kiểm tra giá trị cụ thể.

Ta tính \( P(t) \) ở các mốc thời gian để xác định:

- \( t = 0 \):
\[
P(0) = \frac{20000}{1 + 1000} = \frac{20000}{1001} \approx 19.98
\]

- \( t = 1 \):
\[
P(1) = \frac{20000}{1 + 1000e^{-1}} \approx 19.98 + 0.2 \approx 20.18
\]

- Tính tiếp cho \( t = 2, 3, \ldots \) cho đến khi tăng chậm lại.

Sau khi thực hiện các phép tính, bạn sẽ thấy rằng số lượng ong tăng nhanh nhất tại:

\[
t \approx 1 \text{ tuần.}
\]

### Kết luận
Số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất tại khoảng **1 tuần** (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).