Để chứng minh tứ giác \(AMDN\) là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác đều và tính chất của hình bình hành.

### Các bước chứng minh:

1. **Ký hiệu các điểm và tính chất hình học:**
- Ta có tam giác \(ABC\) với \(\angle A = 60^\circ\).
- Vẽ các tam giác đều \(ABM\) và \(ACN\) ra ngoài tam giác \(ABC\). Do đó, \(\angle ABM = \angle ACN = 60^\circ\).
- Vẽ tam giác đều \(DBC\) với \(D\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) cùng với \(A\).

2. **Tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \(ABM\) là tam giác đều suy ra \(AM = AB\) và \(\angle BAM = 60^\circ\).
- Tam giác \(ACN\) là tam giác đều suy ra \(AN = AC\) và \(\angle CAN = 60^\circ\).
- Tam giác \(DBC\) cũng là tam giác đều dẫn đến \(DB = DC\) và \(\angle DBC = 60^\circ\).

3. **Xét các đặc điểm của các góc:**
- Từ \(A\) tới \(B\) tạo với đường thẳng \(BC\) một góc \(60^\circ\) (vì \(\angle A = 60^\circ\)).
- Gọi \(O\) là điểm giao nhau của hai đường trung tuyến \(AD\) và \(BM\), \(CN\). Các góc tại \(A\) giữa các cạnh \(AB\) và \(AC\) cũng như \(AM\) và \(AN\) đều \(60^\circ\).

4. **Chứng minh các cạnh và góc:**
- Vì \(ABM\) và \(ACN\) đều là tam giác đều:
- \(AM = AB\) và \(AN = AC\).
- Từ đó, ta có:
- \(\angle AMB = \angle ANC = 60^\circ\).

5. **Chứng minh \(AM \parallel DN\) và \(AD \parallel MN\):**
- Do các tam giác \(ABD\) và \(ACD\) cũng có các góc như đã chứng minh ở trên, điều này dẫn đến:
- \(AM\) và \(DN\) song song (góc trong bù nhau với góc \(60^\circ\)).
- Tương tự cho \(AD\) và \(MN\).

6. **Kết luận:**
- Từ các đặc điểm trên, tứ giác \(AMDN\) có hai cặp cạnh đối song song (cặp \(AM\) và \(DN\), cặp \(AD\) và \(MN\)). Do đó, theo định nghĩa, \(AMDN\) là một hình bình hành.

Vậy \(AMDN\) là một hình bình hành.