Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta cần tìm giới hạn của biểu thức khi $ x $ tiến tới $-\infty$:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{a x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 + b x - 2} \right) = 1
\]

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Khi $ x $ tiến tới $-\infty$, các phần tử $ ax^2 $ và $ x^2 $ sẽ chiếm ưu thế trong hai căn. Ta có thể viết lại giới hạn:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 (a + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} - \sqrt{x^2 (1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2})} \right)
\]

### Bước 2: Rút gọn

Ta có thể rút gọn căn như sau:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} \left( |x| \sqrt{a + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - |x| \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \right)
\]

Vì $ x $ tiến tới $-\infty$, nên $ |x| = -x $:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{a + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \right)
\]

### Bước 3: Giới hạn

Sử dụng giới hạn, ta có:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{a} - \sqrt{1} + O\left(\frac{1}{x}\right) \right)
\]

Vì vậy, giới hạn này sẽ trở thành:

\[
L = -x \left( \sqrt{a} - 1 \right)
\]

### Bước 4: Điều kiện để giới hạn bằng 1

Để $ L = 1 $, ta cần:

\[
-\sqrt{a} + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{a} = 1 \Rightarrow a = 1
\]

### Bước 5: Tính $ b $

Thay $ a = 1 $:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \right)
\]

Khi $ x \to -\infty $:

\[
\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1 \quad \text{và} \quad \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \to 1
\]

Ta có:

\[
L = -x \left( \frac{1}{2x} - \frac{b}{2x} \right) \to -x \left( \frac{1 - b}{2x} \right)
\]

Vì vậy, để $ L = 1 $:

\[
\frac{1 - b}{2} = 1 \Rightarrow 1 - b = 2 \Rightarrow b = -1
\]

### Kết luận

Vậy giá trị của $ a $ và $ b $ là:

\[
a = 1, \quad b = -1
\]

...Xem thêm

Answer 2

Để giải bài toán này, ta cần tìm giới hạn của biểu thức khi $ x $ tiến tới $-\infty$:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{a x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 + b x - 2} \right) = 1
\]

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Khi $ x $ tiến tới $-\infty$, các phần tử $ ax^2 $ và $ x^2 $ sẽ chiếm ưu thế trong hai căn. Ta có thể viết lại giới hạn:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 (a + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} - \sqrt{x^2 (1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2})} \right)
\]

### Bước 2: Rút gọn

Ta có thể rút gọn căn như sau:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} \left( |x| \sqrt{a + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - |x| \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \right)
\]

Vì $ x $ tiến tới $-\infty$, nên $ |x| = -x $:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{a + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \right)
\]

### Bước 3: Giới hạn

Sử dụng giới hạn, ta có:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{a} - \sqrt{1} + O\left(\frac{1}{x}\right) \right)
\]

Vì vậy, giới hạn này sẽ trở thành:

\[
L = -x \left( \sqrt{a} - 1 \right)
\]

### Bước 4: Điều kiện để giới hạn bằng 1

Để $ L = 1 $, ta cần:

\[
-\sqrt{a} + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{a} = 1 \Rightarrow a = 1
\]

### Bước 5: Tính $ b $

Thay $ a = 1 $:

\[
L = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \right)
\]

Khi $ x \to -\infty $:

\[
\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1 \quad \text{và} \quad \sqrt{1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{x^2}} \to 1
\]

Ta có:

\[
L = -x \left( \frac{1}{2x} - \frac{b}{2x} \right) \to -x \left( \frac{1 - b}{2x} \right)
\]

Vì vậy, để $ L = 1 $:

\[
\frac{1 - b}{2} = 1 \Rightarrow 1 - b = 2 \Rightarrow b = -1
\]

### Kết luận

Vậy giá trị của $ a $ và $ b $ là:

\[
a = 1, \quad b = -1
\]

Answer 3

$L=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{ax^2+x+1}-\sqrt{x^2+bx-2}\right)=1$

$\sqrt{ax^2+x+1}=\sqrt{x^2+bx-2}+1+o(1)$

$ax^2+x+1=x^2+bx-2+2\sqrt{x^2+bx-2}+1+o(1)$

$(a-1)x^2+(1-b)x+2=2\sqrt{x^2+bx-2}+o(1)$

$x\to-\infty\Rightarrow\sqrt{x^2+bx-2}\sim-x$

$(a-1)x^2+(1-b)x+2\sim-2x$

$a-1=0$

$a=1$

$(1-b)x+2\sim-2x$

$1-b=-2$

$b=3$

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+3x-2}$

$=\dfrac{(x^2+x+1)-(x^2+3x-2)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+3x-2}}$

$=\dfrac{-2x+3}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+3x-2}}$

$\xrightarrow[x\to-\infty]{}\dfrac{-2x}{-2x}=1$

$\boxed{a=1,\ b=3}$

Answer 4

Để giải bài toán này, ta cần tìm giới hạn của biểu thức khi x tiến tới −∞:

L=limx→−∞(√ax2+x+1−√x2+bx−2)=1

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Khi x tiến tới −∞, các phần tử ax2 và x2 sẽ chiếm ưu thế trong hai căn. Ta có thể viết lại giới hạn:

L=limx→−∞(√x2(a+1x+1x2)−√x2(1+bx−2x2))

### Bước 2: Rút gọn

Ta có thể rút gọn căn như sau:

L=limx→−∞(|x|√a+1x+1x2−|x|√1+bx−2x2)

Vì x tiến tới −∞, nên |x|=−x:

L=limx→−∞−x(√a+1x+1x2−√1+bx−2x2)

### Bước 3: Giới hạn

Sử dụng giới hạn, ta có:

L=limx→−∞−x(√a−√1+O(1x))

Vì vậy, giới hạn này sẽ trở thành:

L=−x(√a−1)

### Bước 4: Điều kiện để giới hạn bằng 1

Để L=1, ta cần:

−√a+1=0⇒√a=1⇒a=1

### Bước 5: Tính b

Thay a=1:

L=limx→−∞−x(√1+1x−√1+bx−2x2)

Khi x→−∞:

√1+1x→1và√1+bx−2x2→1

Ta có:

L=−x(12x−b2x)→−x(1−b2x)

Vì vậy, để L=1:

1−b2=1⇒1−b=2⇒b=−1

### Kết luận

Vậy giá trị của a và b là:

a=1,b=−1

...Xem thêm

Answer 5

Để giải bài toán này, ta cần tìm giới hạn của biểu thức khi x tiến tới −∞:

L=limx→−∞(√ax2+x+1−√x2+bx−2)=1

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Khi x tiến tới −∞, các phần tử ax2 và x2 sẽ chiếm ưu thế trong hai căn. Ta có thể viết lại giới hạn:

L=limx→−∞(√x2(a+1x+1x2)−√x2(1+bx−2x2))

### Bước 2: Rút gọn

Ta có thể rút gọn căn như sau:

L=limx→−∞(|x|√a+1x+1x2−|x|√1+bx−2x2)

Vì x tiến tới −∞, nên |x|=−x:

L=limx→−∞−x(√a+1x+1x2−√1+bx−2x2)

### Bước 3: Giới hạn

Sử dụng giới hạn, ta có:

L=limx→−∞−x(√a−√1+O(1x))

Vì vậy, giới hạn này sẽ trở thành:

L=−x(√a−1)

### Bước 4: Điều kiện để giới hạn bằng 1

Để L=1, ta cần:

−√a+1=0⇒√a=1⇒a=1

### Bước 5: Tính b

Thay a=1:

L=limx→−∞−x(√1+1x−√1+bx−2x2)

Khi x→−∞:

√1+1x→1và√1+bx−2x2→1

Ta có:

L=−x(12x−b2x)→−x(1−b2x)

Vì vậy, để L=1:

1−b2=1⇒1−b=2⇒b=−1

### Kết luận

Vậy giá trị của a và b là:

a=1,b=−1

3 câu trả lời 512

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11