Để tính giá trị của \( \vec{A}B \left( \vec{A}B + \vec{A}C \right) \) trong tứ diện đều \( ABCD \) với tất cả các cạnh bằng \( a \), ta cần xác định tọa độ của các đỉnh của tứ diện này.

### 1. Xác định tọa độ của các đỉnh

Giả sử các đỉnh của tứ diện đều \( ABCD \) có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C\left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right) \)
- \( D\left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3} \right) \)

### 2. Tính các vector

- Tính vector \( \vec{A}B \):
\[
\vec{A}B = \vec{B} - \vec{A} = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0)
\]

- Tính vector \( \vec{A}C \):
\[
\vec{A}C = \vec{C} - \vec{A} = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right) - (0, 0, 0) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right)
\]

### 3. Tính tổng \( \vec{A}B + \vec{A}C \)

\[
\vec{A}B + \vec{A}C = (a, 0, 0) + \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right) = \left( a + \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{3a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right)
\]

### 4. Tính tích vô hướng \( \vec{A}B \cdot \left( \vec{A}B + \vec{A}C \right) \)

\[
\vec{A}B \cdot \left( \vec{A}B + \vec{A}C \right) = (a, 0, 0) \cdot \left( \frac{3a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0 \right)
\]

Tính tích vô hướng:
\[
= a \cdot \frac{3a}{2} + 0 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 = \frac{3a^2}{2}
\]

### Kết luận

Vậy giá trị của \( \vec{A}B \cdot \left( \vec{A}B + \vec{A}C \right) \) là:
\[
\frac{3a^2}{2}
\]