Để chứng minh các phần của bài này liên quan đến hình bình hành \(ABCD\) và các đường thẳng \(DE\) và \(BF\) với các điểm \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Tứ giác \(DEBF\) là hình thang

- **Chứng minh tứ giác \(DEBF\) là hình thang**:
- Trong hình bình hành \(ABCD\), các cạnh đối song song với nhau, nghĩa là \(AB \parallel CD\).
- \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên \(DE\) và \(BF\) đều là các đoạn thẳng nối giữa các trung điểm của hai cạnh song song \(AB\) và \(CD\).
- Theo tính chất của các đoạn thẳng nối giữa các trung điểm, ta có:
- \(DE \parallel BF\).
- Do đó, tứ giác \(DEBF\) có hai cạnh song song, vậy \(DEBF\) là một hình thang.

### b) Chứng minh các đường thẳng \(AC\), \(BD\), và \(EF\) đồng quy tại một điểm

- **Chứng minh \(AC\), \(BD\), \(EF\) đồng quy tại \(O\)**:
- Trong hình bình hành \(ABCD\), ta biết rằng đường chéo \(AC\) cắt đường chéo \(BD\) tại điểm \(O\) (giao điểm của hai đường chéo).
- Do \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), nên \(EF\) nối giữa hai trung điểm.
- Theo định lý về các đường chéo của hình bình hành và tính chất của trung điểm, ta có:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}
\]
- Điều này có nghĩa là các đường thẳng \(AC\), \(BD\), và \(EF\) đều cắt nhau tại một điểm duy nhất \(O\).

### c) Gọi giao điểm của \(AC\) và \(DE\) là \(M\) và giao điểm của \(BF\) với \(CD\) là \(N\); chứng minh \(O\) là trung điểm của \(MN\).

- **Chứng minh \(O\) là trung điểm của đoạn \(MN\)**:
- Từ \(ABCD\) là hình bình hành, ta có:
- \(O\) là điểm chia đôi các cạnh \(AC\) và \(BD\).
- Trong tam giác \(ADC\) và \(ABC\):
- Ta biết rằng \(M\) là giao điểm của \(AC\) và \(DE\) (từ \(E\) là trung điểm của \(AB\)), nên:
- \(AM = \frac{1}{2}AB\).
- \(N\) là giao điểm của \(CD\) và \(BF\) (từ \(F\) là trung điểm của \(CD\)), nên:
- \(CN = \frac{1}{2}CD\).
- Do tính chất của hình bình hành, chúng ta thấy rằng:
- \(AO = OC\) và \(BO = OD\), suy ra \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa các điểm \(M\) và \(N\).

Kết luận, ta có thể chứng minh rằng điểm \(O\) là trung điểm của đoạn \(MN\).

### Kết luận

Tóm lại, từ các lý lẽ trên, tứ giác \(DEBF\) là hình thang; các đường thẳng \(AC\), \(BD\), và \(EF\) đồng quy tại một điểm; và \(O\) là trung điểm của đoạn \(MN\).

Để chứng minh các phần của bài này liên quan đến hình bình hành ABCDABCD và các đường thẳng DEDE và BFBF với các điểm EE và FF lần lượt là trung điểm của ABAB và CDCD, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Tứ giác DEBFDEBF là hình thang

- **Chứng minh tứ giác DEBFDEBF là hình thang**:
- Trong hình bình hành ABCDABCD, các cạnh đối song song với nhau, nghĩa là AB∥CDAB∥CD.
- EE là trung điểm của ABAB, FF là trung điểm của CDCD nên DEDE và BFBF đều là các đoạn thẳng nối giữa các trung điểm của hai cạnh song song ABAB và CDCD.
- Theo tính chất của các đoạn thẳng nối giữa các trung điểm, ta có:
- DE∥BFDE∥BF.
- Do đó, tứ giác DEBFDEBF có hai cạnh song song, vậy DEBFDEBF là một hình thang.

### b) Chứng minh các đường thẳng ACAC, BDBD, và EFEF đồng quy tại một điểm

- **Chứng minh ACAC, BDBD, EFEF đồng quy tại OO**:
- Trong hình bình hành ABCDABCD, ta biết rằng đường chéo ACAC cắt đường chéo BDBD tại điểm OO (giao điểm của hai đường chéo).
- Do EE và FF lần lượt là trung điểm của ABAB và CDCD, nên EFEF nối giữa hai trung điểm.
- Theo định lý về các đường chéo của hình bình hành và tính chất của trung điểm, ta có:
AOOC=BOODAOOC=BOOD
- Điều này có nghĩa là các đường thẳng ACAC, BDBD, và EFEF đều cắt nhau tại một điểm duy nhất OO.

### c) Gọi giao điểm của ACAC và DEDE là MM và giao điểm của BFBF với CDCD là NN; chứng minh OO là trung điểm của MNMN.

- **Chứng minh OO là trung điểm của đoạn MNMN**:
- Từ ABCDABCD là hình bình hành, ta có:
- OO là điểm chia đôi các cạnh ACAC và BDBD.
- Trong tam giác ADCADC và ABCABC:
- Ta biết rằng MM là giao điểm của ACAC và DEDE (từ EE là trung điểm của ABAB), nên:
- AM=12ABAM=12AB.
- NN là giao điểm của CDCD và BFBF (từ FF là trung điểm của CDCD), nên:
- CN=12CDCN=12CD.
- Do tính chất của hình bình hành, chúng ta thấy rằng:
- AO=OCAO=OC và BO=ODBO=OD, suy ra OO là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa các điểm MM và NN.

Kết luận, ta có thể chứng minh rằng điểm OO là trung điểm của đoạn MNMN.

### Kết luận

Tóm lại, từ các lý lẽ trên, tứ giác DEBFDEBF là hình thang; các đường thẳng ACAC, BDBD, và EFEF đồng quy tại một điểm; và OO là trung điểm của đoạn MNMN.
...Xem thêm