Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần theo trình tự.

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là một hình bình hành.

1. **Đặt điểm M**: M là trung điểm của cạnh BC, nên có:
\[
BM = MC
\]

2. **Đặt điểm D**: D là điểm nằm trên tia đối của AM sao cho \( MD = AM \). Từ đó, ta có:
\[
AM = MD
\]

3. **Xét tứ giác ABCD**:
- Ta có \( AM \parallel CD \) (do MD là đoạn thẳng đối diện với AM, hai đoạn này nằm trên cùng một đường thẳng).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), và \( AM \) là trung tuyến, nên có:
\[
AB + AD = AC + BD
\]

4. **Chứng minh các cặp cạnh đối song song**:
- Cạnh \( AB \) song song với \( CD \).
- Cạnh \( AC \) song song với \( BD \).

5. **Kết luận**: Từ các yếu tố trên, ta có tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện về các cặp cạnh đối song song và có độ dài bằng nhau, nên tứ giác ABCD là một hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác BEDC là một hình thang cân.

1. **Điểm E**: E là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC, nên ta có:
- Đoạn AE vuông góc với BC.
- Đoạn BE = AE (do tính chất của đối xứng).

2. **Xét tứ giác BEDC**:
- Xét hai cặp cạnh:
- \( BE \) và \( CD \): đều là những đoạn thẳng vuông góc với BC.
- \( DE \) và \( BC \): do E là điểm đối xứng của A qua BC nên DE là đường thẳng đi qua BC.

3. **Chứng minh các cặp cạnh đối bằng nhau**:
- Từ việc E đối xứng A qua BC, ta có \( BE = DE \).

4. **Kết luận**: Tứ giác BEDC có hai cạnh đáy \( BC \) và \( ED \) song song và hai cạnh bên \( BE \) và \( CD \) bằng nhau, do đó BEDC là một hình thang cân.

### Tổng kết

- a) Tứ giác ABCD là hình bình hành.
- b) Tứ giác BEDC là hình thang cân.

Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi theo từng bước:

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là một hình bình hành

**Dữ kiện:**
- Tam giác \(ABC\) với \(AB < AC\) có trung tuyến \(AM\), tức \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- Trên tia đối của tia \(AM\), lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = AM\).

**Chứng minh:**
Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh \(AB = CD\):**
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\).
- Ta có đoạn \(MD = AM\) theo đề bài.
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\), tức là \(AB = AC\).
- Ta có \(MD = AM\), và \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AB = CD\).

2. **Chứng minh \(AD = BC\):**
- Do điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua điểm \(M\), nên \(AD = BC\).

3. **Chứng minh \(AB \parallel CD\):**
- Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), nên đường thẳng \(AB\) song song với đường thẳng \(CD\).

4. **Chứng minh \(AD \parallel BC\):**
- Tương tự, do \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), nên đường thẳng \(AD\) song song với đường thẳng \(BC\).

Từ các bước trên, ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

---

### b) Chứng minh tứ giác BEDC là một hình thang cân

**Dữ kiện:**
- \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(BC\), tức là \(BC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AE\).
- Ta đã có tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành từ phần a.

**Chứng minh:**
Để chứng minh tứ giác \(BEDC\) là một hình thang cân, ta cần chứng minh rằng \(BE \parallel CD\) và hai cạnh bên \(BD\) và \(EC\) bằng nhau.

1. **Chứng minh \(BE \parallel CD\):**
- Do \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(BC\), nên \(AE \perp BC\), tức \(BE \parallel CD\) (vì trong hình bình hành \(ABCD\), \(AB \parallel CD\)).

2. **Chứng minh \(BD = EC\):**
- Do \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(BC\), nên \(BD = EC\) (vì \(B\) và \(C\) đối xứng qua \(BC\)).

Vậy tứ giác \(BEDC\) có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên nó là một hình thang cân.

---

Tóm lại:
- Tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành.
- Tứ giác \(BEDC\) là một hình thang cân.

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là một hình bình hành

**Dữ kiện:**
- Tam giác ABCABC với AB<ACAB<AC có trung tuyến AMAM, tức MM là trung điểm của BCBC.
- Trên tia đối của tia AMAM, lấy điểm DD sao cho MD=AMMD=AM.

**Chứng minh:**
Để chứng minh tứ giác ABCDABCD là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh AB=CDAB=CD:**
- Do MM là trung điểm của BCBC, nên MB=MCMB=MC.
- Ta có đoạn MD=AMMD=AM theo đề bài.
- Vì MM là trung điểm của BCBC, nên AMAM là trung tuyến của tam giác ABCABC, tức là AB=ACAB=AC.
- Ta có MD=AMMD=AM, và MM là trung điểm của BCBC, nên AB=CDAB=CD.

2. **Chứng minh AD=BCAD=BC:**
- Do điểm DD đối xứng với AA qua điểm MM, nên AD=BCAD=BC.

3. **Chứng minh AB∥CDAB∥CD:**
- Vì DD đối xứng với AA qua MM, nên đường thẳng ABAB song song với đường thẳng CDCD.

4. **Chứng minh AD∥BCAD∥BC:**
- Tương tự, do DD đối xứng với AA qua MM, nên đường thẳng ADAD song song với đường thẳng BCBC.

Từ các bước trên, ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.

---

### b) Chứng minh tứ giác BEDC là một hình thang cân

**Dữ kiện:**
- EE là điểm đối xứng của AA qua đường thẳng BCBC, tức là BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng AEAE.
- Ta đã có tứ giác ABCDABCD là hình bình hành từ phần a.

**Chứng minh:**
Để chứng minh tứ giác BEDCBEDC là một hình thang cân, ta cần chứng minh rằng BE∥CDBE∥CD và hai cạnh bên BDBD và ECEC bằng nhau.

1. **Chứng minh BE∥CDBE∥CD:**
- Do EE là điểm đối xứng của AA qua đường thẳng BCBC, nên AE⊥BCAE⊥BC, tức BE∥CDBE∥CD (vì trong hình bình hành ABCDABCD, AB∥CDAB∥CD).

2. **Chứng minh BD=ECBD=EC:**
- Do EE là điểm đối xứng của AA qua đường thẳng BCBC, nên BD=ECBD=EC (vì BB và CC đối xứng qua BCBC).

Vậy tứ giác BEDCBEDC có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên nó là một hình thang cân.

---

Tóm lại:
- Tứ giác ABCDABCD là một hình bình hành.
- Tứ giác BEDCBEDC là một hình thang cân.