Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh \( \angle AID = \angle BSC = 90^\circ \)

1. **Chứng minh \( \angle AID = 90^\circ \)**:
- Xét tam giác \( AID \):
- Gọi \( \alpha = \angle DAB \) và \( \beta = \angle ADC \).
- Do \( AB \parallel CD \), ta có \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
- Phân giác \( AI \) chia góc \( \alpha \) thành hai phần:
\[
\angle DAI = \frac{\alpha}{2}, \quad \angle IAD = \frac{\alpha}{2}
\]
- Tương tự, \( \angle IDA = \frac{\beta}{2} \).
- Do đó, trong tam giác \( AID \):
\[
\angle AID = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.
\]

2. **Chứng minh \( \angle BSC = 90^\circ \)**:
- Tương tự, xét tam giác \( BSC \):
- Gọi \( \theta = \angle ABC \) và \( \phi = \angle BCD \).
- Từ tính chất song song, ta có \( \theta + \phi = 180^\circ \).
- Phân giác \( BS \) chia góc \( \theta \):
\[
\angle ABS = \frac{\theta}{2}, \quad \angle SBC = \frac{\theta}{2}
\]
- Tương tự cho \( C \):
\[
\angle BSC = 180^\circ - \left(\frac{\theta}{2} + \frac{\phi}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\theta + \phi}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.
\]

### Kết quả phần a:
- \( \angle AID = \angle BSC = 90^\circ \).

### b) Chứng minh \( E, I, S, F \) thẳng hàng

1. **Xét các điểm**:
- \( E \) là trung điểm của \( AD \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- Ta cần chứng minh \( EI \) và \( SF \) đồng quy tại một điểm trên đường thẳng.

2. **Áp dụng định lý trung tuyến**:
- Trong hình thang, các phân giác \( AI \) và \( BS \) cắt nhau tại điểm \( I \), với \( E \) và \( F \) là trung điểm, ta có:
- Đường thẳng \( EF \) song song với \( AB \) và \( CD \) (theo tính chất trung điểm).
- Điểm \( I \) và \( S \) cũng nằm trên cùng một đường thẳng \( EF \) vì chúng nằm giữa các góc vuông.

### Kết quả phần b:
- \( E, I, S, F \) thẳng hàng.

### c) Nếu \( EI = SF \), hình thang \( ABCD \) có đặc điểm gì?

- Nếu \( EI = SF \), điều này cho thấy rằng độ dài đoạn nối giữa hai trung điểm là bằng nhau, tức là \( AD \) và \( BC \) có độ dài bằng nhau. Khi đó, hình thang \( ABCD \) trở thành hình thang cân.

### Kết quả phần c:
- Hình thang \( ABCD \) là hình thang cân.