**a)** Để chứng minh rằng \( AH = IK \), ta sử dụng định nghĩa của các điểm và hình chiếu vuông góc.

- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \), H ở trên cạnh BC có tọa độ \( H(x_H, y_H) \).
- Từ B và C, ta có phương trình đường thẳng BC: \( y = -\frac{c}{b}x + c \).

Bây giờ, kẻ HI vuông góc với AB, tức là đường thẳng HI sẽ có độ dốc vô cùng lớn, tức là đường thẳng thẳng đứng. Do đó, tọa độ của điểm I sẽ là \( I(x_H, 0) \).

Tiếp theo, kẻ HK vuông góc với AC. Đường thẳng AC có độ dốc \(-\frac{c}{b}\), do đó độ dốc của đường thẳng HK là \(\frac{b}{c}\). Hồ sơ HK có phương trình:

\[
y - 0 = \frac{b}{c}(x - x_H) \Rightarrow y = \frac{b}{c}(x - x_H)
\]

Tìm tọa độ của K trên AC (đường thẳng nối từ A đến C có phương trình: \( y = -\frac{c}{b}x + c \)), ta thay vào phương trình của AC:

\[
\frac{b}{c}(x - x_H) = -\frac{c}{b}x + c
\]

Giải phương trình này sẽ cho ta tọa độ của K, và từ đó ta nên tính được độ dài \( IK \).

Mặt khác, độ dài AH là khoảng cách từ A đến H, và kẻ HK vuông góc cho biết rằng \( AH = IK \) sẽ tồn tại như một kết quả của hình chiếu vuông góc.

**b)** Để chứng minh rằng DI đi qua trung điểm M của AK, ta thực hiện các bước sau:

- Tìm tọa độ của các điểm A, K, H, và D.
- Điểm K, được tìm ở phần trước, và M là trung điểm của AK:

\[
M\left(\frac{x_A + x_K}{2}, \frac{y_A + y_K}{2}\right)
\]

Tọa độ điểm D là đối xứng với H qua K, do đó tọa độ D sẽ là:

\[
D(2x_K - x_H, 2y_K - y_H)
\]

Bằng cách chứng minh rằng vectơ \( \overrightarrow{MD} \) có độ dốc bằng độ dốc của vectơ \( \overrightarrow{AK} \), chúng ta có thể kết luận rằng điểm D nằm trên đường thẳng AD.

**c)** Gọi O là giao điểm của HM với AD. Để chứng minh rằng \( MO = \frac{1}{6} DI \), chúng ta cần tính độ dài các đoạn thẳng \( MO \) và \( DI \) theo tọa độ.

- Từ các công thức tìm được trên, thực hiện phép tính trigonometrical để xác định \( MO \) và \( DI \).
- Cuối cùng, dựa vào sự tương đồng trong các tam giác, chứng minh rằng \( MO \) là một phần của đoạn thẳng DI và tìm thấy tỷ lệ giữa chúng, cụ thể là \( \frac{1}{6} \).

Quá trình chi tiết hãy thực hiện qua tính toán chính xác và lý luận hình học cho từng bước ở trên.