Để chứng minh các phần của đề bài trong hình thang ABCD với giả thiết AB // CD và AD // BC, chúng ta có thể sử dụng các tính chất của hình học phẳng và hình thang. Bởi vì đây là bài toán liên quan đến hình học, chúng ta sẽ ở trong ngữ cảnh của các tính chất hình học và các mệnh đề đã biết.

### a) \( AB = CD \) và \( AD = BC \)

Do AB // CD và AD // BC, ta có thể áp dụng các tính chất của hình thang đồng dạng. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, theo định lý hình thang, chúng ta có:

- Từ hình thang, kiểm tra tỉ số chiều dài cạnh:
- \(AO/OC = AD/BC \)
- \(BO/OD = AB/CD\)

Vì AB // CD và AD // BC, ta kết luận rằng:
- Tỉ số AB/CD bằng 1, từ đó suy ra \( AB = CD \).
- Tương tự, từ tỉ số AD/BC cũng là 1, tức là \( AD = BC \).

### b) \( OA = OC \) và \( OD = OD \)

Với O là giao điểm của các đường chéo AC và BD, do hình thang đồng dạng, hai tam giác OAD và OBC là đồng dạng:

- Ta thấy \( \triangle OAD \sim \triangle OBC \) (bởi vì AB // CD và AD // BC, góc tương ứng đều bằng nhau).
- Với hình thang và đồng dạng tam giác, tỉ lệ các đoạn thẳng tương ứng cũng sẽ tương ứng. Do đó, ta có:
- \( \frac{OA}{OC} = \frac{AD}{BC} \)

Vì \( AD = BC \), từ đó suy ra \( OA = OC \).

Còn về \( OD = OD \) là đúng, vì đó là đoạn thẳng không thay đổi.

### c) \( \angle A = \angle C \) và \( \angle B = \angle D \)

Những góc này tương ứng với nhau do các đường thẳng song song:
- Hai đường thẳng AB và CD là song song, vì thế:
- Khi một đường thẳng cắt hai đường song song, các góc trong (góc đồng vị) tạo thành sẽ bằng nhau.
- Do đó, có \( \angle A = \angle C \) và \( \angle B = \angle D \).

### Kết luận

Tất cả những kết luận trên đều xuất phát từ các lý thuyết hình học cơ bản về hình thang đồng dạng và các tính chất của các đường thẳng song song. Hy vọng giải thích này rõ ràng và hữu ích cho bạn!