Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để phân tích đa thức \( P(x) = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhân các đa thức lại với nhau:**

Ta có:
\[
(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7
\]
\[
(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15
\]

Tiếp theo, nhân hai kết quả này lại:
\[
P(x) = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15)
\]

Đặt \( y = x^2 + 8x \):
\[
P(x) = (y + 7)(y + 15) = y^2 + 22y + 105
\]

Thay lại \( y \):
\[
P(x) = (x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 105
\]

2. **Thay vào \( P(x) \):**
\[
P(x) = (x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 105
\]

Ta có thể viết lại:
\[
P(x) = z^2 + 22z + 105
\]
với \( z = x^2 + 8x \).

3. **Giải phương trình bậc hai:**
Để phân tích \( z^2 + 22z + 105 \), ta cần tìm nghiệm:
\[
D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105 = 484 - 420 = 64
\]
Nghiệm:
\[
z = \frac{-22 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-22 \pm 8}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
z_1 = -7, \quad z_2 = -15
\]

4. **Quay trở lại với \( x \):**
Giải \( x^2 + 8x + 7 = 0 \) và \( x^2 + 8x + 15 = 0 \):
- \( x^2 + 8x + 7 = 0 \) có nghiệm:
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{-8 \pm 6}{2} \rightarrow x_1 = -1, \; x_2 = -7
\]
- \( x^2 + 8x + 15 = 0 \) có nghiệm:
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2} \rightarrow x_3 = -3, \; x_4 = -5
\]

5. **Kết luận:**
Đa thức ban đầu có thể viết lại dưới dạng:
\[
P(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + (x + 7)(x + 1) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
\]

Vậy, \( P(x) \) có thể phân tích thành nhân tử như sau:
\[
P(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
\]

...Xem thêm

Answer 2