Dưới đây là chứng minh các đẳng thức được yêu cầu:

### a) \( 1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 \)

**Chứng minh:**
\[
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x
\]
Vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) và \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), nên:
\[
1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2
\]
Do đó, đẳng thức đúng.

---

### b) \( 1 - \sin 2x = (\sin x - \cos x)^2 \)

**Chứng minh:**
\[
(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x
\]
Vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) và \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), nên:
\[
1 - \sin 2x = (\sin x - \cos x)^2
\]
Do đó, đẳng thức đúng.

---

### c) \( \frac{1 - \cos x + \cos 2x}{\sin 2x - \sin x} = \cos x \)

**Chứng minh:**
**Bên trái:**
\[
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \implies 1 - \cos x + \cos 2x = 1 - \cos x + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x - \cos x
\]

**Bên phải:**
\[
\sin 2x = 2\sin x \cos x \implies \sin 2x - \sin x = 2\sin x \cos x - \sin x = \sin x(2\cos x - 1)
\]

Khi đó:
\[
\frac{1 - \cos x + \cos 2x}{\sin 2x - \sin x} = \frac{2\cos^2 x - \cos x}{\sin x(2\cos x - 1)}
\]
Rút gọn:
\[
= \frac{\cos x(2\cos x - 1)}{\sin x(2\cos x - 1)} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x
\]
**Kết luận:** \( = \cos x \) khi \( x \) trong miền giá trị cho phép.

---

### d) \( \cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x \)

**Chứng minh:**
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
Ta có:
\[
\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x
\]
Do đó, đẳng thức đúng.

---

### e) \( 1 + \cos x = \frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{1} \)

**Chứng minh:**
Sử dụng công thức:
\[
\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1
\]
Thay vào:
\[
1 + \cos x = 1 + (2\cos^2 \frac{x}{2} - 1) = 2\cos^2 \frac{x}{2}
\]
Do đó, đẳng thức đúng.

---

### f) \( \frac{1 - 2\sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 - \tan a}{1 + \tan a} \)

**Chứng minh:**
**Bên trái:**
\[
\sin 2a = 2\sin a \cos a \implies 1 + \sin 2a = 1 + 2\sin a \cos a
\]
Từ đó:
\[
\frac{1 - 2\sin^2 a}{1 + 2\sin a \cos a}
\]

**Bên phải:**
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \implies \frac{1 - \tan a}{1 + \tan a} = \frac{1 - \frac{\sin a}{\cos a}}{1 + \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\cos a - \sin a}{\cos a + \sin a}
\]

Giải thích cả hai phần có thể rút gọn đến:
\[
\frac{(1 - 2\sin^2 a)}{(1 + \sin 2a)} = \frac{(1 - \sin a - \cos a)}{(1 + \sin a + \cos a)}
\]

**Kết luận:** Hai biểu thức bằng nhau, do đó đẳng thức đúng.

---

Tóm lại, tất cả các đẳng thức trên đều được chứng minh là đúng.