Để rút gọn các biểu thức \( A \), \( B \), và \( C \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các quy tắc biến đổi đại số.

### a) Rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} \)

Ta sử dụng công thức lượng giác sau:
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a \quad \text{và} \quad 1 + \cos 2a = 1 + (2\cos^2 a - 1) = 2\cos^2 a
\]

Vậy biểu thức \( A \) có thể viết lại như sau:
\[
A = \frac{2 \sin a \cos a}{2 \cos^2 a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a
\]

### Kết quả:
\[
A = \tan a
\]

---

### b) Rút gọn biểu thức \( B = \frac{1 - \cos 2a + \sin 2a}{1 + \cos 2a + \sin 2a} \)

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \( 1 - \cos 2a = 2\sin^2 a \)
- \( 1 + \cos 2a = 2\cos^2 a \)

Thay vào biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{2\sin^2 a + \sin 2a}{2\cos^2 a + \sin 2a}
\]
\[
= \frac{2\sin^2 a + 2\sin a \cos a}{2\cos^2 a + 2\sin a \cos a}
\]
\[
= \frac{2\sin a (\sin a + \cos a)}{2\cos a (\cos a + \sin a)}
\]

Rút gọn:
\[
B = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a
\]

### Kết quả:
\[
B = \tan a
\]

---

### c) Rút gọn biểu thức \( C = \frac{2\sin 2x - \sin 4x}{2\sin 2x + \sin 4x} \)

Sử dụng công thức \( \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x \):
\[
C = \frac{2\sin 2x - 2\sin 2x \cos 2x}{2\sin 2x + 2\sin 2x \cos 2x}
\]

Rút gọn:
\[
C = \frac{2\sin 2x(1 - \cos 2x)}{2\sin 2x(1 + \cos 2x)}
\]

Giả sử \( \sin 2x \neq 0 \), ta có:
\[
C = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}
\]

Sử dụng công thức lượng giác \( 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x \) và \( 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x \):
\[
C = \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = \tan^2 x
\]

### Kết quả:
\[
C = \tan^2 x
\]

---

### Tóm tắt kết quả:
- \( A = \tan a \)
- \( B = \tan a \)
- \( C = \tan^2 x \)