Để rút gọn biểu thức \( A = (\cos a - \sin a)^2 + \sin 2a \), ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Thay thế \(\sin 2a\)**:
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]
Do đó, biểu thức trở thành:
\[
A = (\cos a - \sin a)^2 + 2 \sin a \cos a
\]

2. **Mở rộng bình phương**:
\[
(\cos a - \sin a)^2 = \cos^2 a - 2 \sin a \cos a + \sin^2 a
\]
Biểu thức \(A\) trở thành:
\[
A = \cos^2 a - 2 \sin a \cos a + \sin^2 a + 2 \sin a \cos a
\]

3. **Kết hợp các hạng tử**:
\[
A = \cos^2 a + \sin^2 a - 2 \sin a \cos a + 2 \sin a \cos a
\]
Hạng tử \(-2 \sin a \cos a\) và \(+2 \sin a \cos a\) triệt tiêu nhau:
\[
A = \cos^2 a + \sin^2 a
\]

4. **Sử dụng đồng nhất thức**:
\(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\).

Vậy biểu thức \( A \) rút gọn là:
\[
A = 1
\]

Để rút gọn biểu thức \( A = (\cos a - \sin a)^2 + \sin 2a \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước 1: Mở rộng biểu thức \((\cos a - \sin a)^2\)

\[
(\cos a - \sin a)^2 = \cos^2 a - 2\cos a \sin a + \sin^2 a
\]

### Bước 2: Sử dụng định lý Pythagoras

Theo định lý Pythagoras, ta có:

\[
\cos^2 a + \sin^2 a = 1
\]

Vậy nên:

\[
(\cos a - \sin a)^2 = 1 - 2\cos a \sin a
\]

### Bước 3: Thay vào biểu thức A

Biểu thức \( A \) trở thành:

\[
A = (1 - 2\cos a \sin a) + \sin 2a
\]

### Bước 4: Sử dụng công thức \(\sin 2a\)

Ta biết rằng:

\[
\sin 2a = 2\sin a \cos a
\]

### Bước 5: Thay \(\sin 2a\) vào biểu thức A

Thay vào, ta có:

\[
A = 1 - 2\cos a \sin a + 2\sin a \cos a
\]

### Bước 6: Rút gọn

Rút gọn biểu thức:

\[
A = 1 - 2\cos a \sin a + 2\cos a \sin a = 1
\]

### Kết luận

Vậy biểu thức đã được rút gọn thành:

\[
\boxed{1}
\]