Để chứng minh các đẳng thức trong tứ giác \( ABCD \) với \( M \) và \( N \) là trung điểm của đoạn \( AB \) và \( CD \), ta sẽ sử dụng định lý về trung điểm.

### a) Chứng minh rằng \( \overline{AB} + \overline{CD = \overline{AD} + \overline{CB} \)

1. **Xét tứ giác ABCD**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).
- Theo định nghĩa, ta có:
\[
\overline{AM} = \overline{MB} \quad \text{và} \quad \overline{CN} = \overline{ND}
\]

2. **Áp dụng định lý về trung điểm**:
- Ta có:
\[
\overline{AB} = \overline{AM} + \overline{MB}
\]
\[
\overline{CD} = \overline{CN} + \overline{ND}
\]

3. **Tính tổng**:
- Do đó, ta có:
\[
\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{AM} + \overline{MB} + \overline{CN} + \overline{ND}
\]

4. **Áp dụng tính chất trung điểm**:
- Nhận thấy rằng:
\[
\overline{AM} + \overline{ND} = \overline{AD} \quad \text{và} \quad \overline{MB} + \overline{CN} = \overline{CB}
\]
- Do đó, ta có:
\[
\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{AD} + \overline{CB}
\]

### b) Chứng minh rằng \( \overline{AC} + \overline{BD} = 2\overline{MN} \)

1. **Tính toán**:
- Gọi \( \overline{AC} \) và \( \overline{BD} \) là các đoạn thẳng từ \( A \) đến \( C \) và từ \( B \) đến \( D \).

2. **Áp dụng định lý về trung điểm**:
- Ta có:
\[
\overline{AC} = \overline{AM} + \overline{MC} \quad \text{và} \quad \overline{BD} = \overline{BM} + \overline{MD}
\]

3. **Tính tổng**:
- Tổng hai đoạn:
\[
\overline{AC} + \overline{BD} = (\overline{AM} + \overline{MC}) + (\overline{BM} + \overline{MD})
\]
- Nhận thấy rằng \( \overline{MC} + \overline{MD} = \overline{MN} \) (vì \( M \) và \( N \) là trung điểm).

4. **Tính giá trị**:
- Theo định lý trung điểm, ta có:
\[
\overline{AC} + \overline{BD} = \overline{AM} + \overline{BM} + \overline{MC} + \overline{MD} = 2\overline{MN}
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng:
- \( \overline{AB} + \overline{CD} = \overline{AD} + \overline{CB} \)
- \( \overline{AC} + \overline{BD} = 2\overline{MN} \)

Điều này hoàn tất các chứng minh yêu cầu.

Để chứng minh các phần của bài toán tứ giác ABCD với M và N là các trung điểm của các đoạn AB và CD, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu vectơ cho các điểm.

**Giả sử các điểm trong không gian 2D được biểu diễn bằng các vectơ:**
- \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{D} \) lần lượt tương ứng với các điểm A, B, C, D.
- Điểm M là trung điểm của AB:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]
- Điểm N là trung điểm của CD:
\[
\vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

### a) Chứng minh rằng \( \overline{AB} + \overline{CD = \overline{AD} + \overline{CB} \)

Ta có:
- Độ dài \( \overline{AB} = |\vec{B} - \vec{A}| \)
- Độ dài \( \overline{CD} = |\vec{D} - \vec{C}| \)
- Độ dài \( \overline{AD} = |\vec{D} - \vec{A}| \)
- Độ dài \( \overline{CB} = |\vec{B} - \vec{C}| \)

Vì tứ giác ABCD có các đoạn thẳng đối diện nhau mà độ dài tổng thể tương đương, chúng ta có:
\[
\overline{AB} + \overline{CD} = |\vec{B} - \vec{A}| + |\vec{D} - \vec{C}|
\]
\[
= \overline{AD} + \overline{CB} = |\vec{D} - \vec{A}| + |\vec{B} - \vec{C}|
\]
Suy ra:
\[
|\vec{B} - \vec{A}| + |\vec{D} - \vec{C}| = |\vec{D} - \vec{A}| + |\vec{B} - \vec{C}|
\]

### b) Chứng minh rằng \( \overline{AC} + \overline{BD} = 2 \overline{MN} \)

Ta có:
- Độ dài \( \overline{AC} = |\vec{C} - \vec{A}| \)
- Độ dài \( \overline{BD} = |\vec{D} - \vec{B}| \)

Ta biết rằng
\[
\overline{MN} = |\vec{N} - \vec{M}| = \left| \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \right| = \left| \frac{(\vec{C} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B})}{2} \right| = \frac{|(\vec{C} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B})|}{2}
\]

Tiếp theo, tính \( \overline{AC} + \overline{BD} \):
\[
\overline{AC} + \overline{BD} = |\vec{C} - \vec{A}| + |\vec{D} - \vec{B}|
\]
Chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
|\vec{C} - \vec{A}| + |\vec{D} - \vec{B}| = 2 \cdot \frac{|(\vec{C} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B})|}{2}
\]
Vì vậy, theo định lý chuyển vị cho độ dài, chúng ta có thể kết luận \( \overline{AC} + \overline{BD} = 2 \overline{MN} \).

### c) Xác định điểm \( E \) và \( F \)

Để giải bài toán này, ta cần tìm các điểm sao cho các trọng số thỏa mãn điều kiện:
1. \( 2 \overline{EA} + 3 \overline{EB} = \overline{O} \)
2. \( 2 \overline{FA} + 3 \overline{FB} + \overline{FC} = \overline{O} \)

Gọi:
- \( \vec{E} = \lambda \vec{A} + \mu \vec{B} \) với \( \lambda + \mu = 1 \)
- \( \vec{F} = \alpha \vec{A} + \beta \vec{B} + \gamma \vec{C} \) với \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \)

Áp dụng các hệ số,
1. Từ điều kiện \( \overline{O} = 2\vec{E} + 3\vec{E} \quad \Rightarrow \quad 5\vec{E} = \overline{O} \).
2. Cũng tương tự, từ \( \overline{O} = 2\vec{F} + 3\vec{F} + \vec{FC} \).

Chúng ta cần tính toán cụ thể bằng việc thay các giá trị vào các phương trình trọng số để xác định vị trí chính xác của E và F.

Trước hết, ta viết theo hệ số cho \( \vec{E} \):
\[
\vec{E} = \frac{1}{5} \overline{O} = \frac{1}{5} (2\vec{A} + 3\vec{B})
\]
Và cho \( \vec{F} \):
\[
\vec{F} = \frac{1}{6} (2\vec{A} + 3\vec{B} + \vec{C})
\]

**Kết luận:**
Điểm \( E \) và \( F \) có thể được xác định bằng phương trình tổng hợp được điều kiện về các trọng số.