Cho phương trình dao động điều hòa:

\[ x = 10 \cos (4\pi t - \frac{\pi}{3}) \]

Ta sẽ giải từng phần một.

### a) Biên độ và chu kỳ

- **Biên độ (A)**: Biên độ là hệ số trước hàm cos, ở đây \( A = 10 \) cm.
- **Chu kỳ (T)**: Chu kỳ được tính từ tần số \( f \). Tần số được xác định từ hệ số \( 4\pi \) trong phương trình.

\[
\omega = 4\pi \quad \text{(tần số góc)}
\]

Tần số \( f \) được tính như sau:

\[
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \, \text{Hz}
\]

Chu kỳ \( T \) được tính theo công thức:

\[
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0.5 \, \text{s}
\]

### b) Pha ban đầu và tần số

- **Pha ban đầu (\( \phi_0 \))**: Pha ban đầu là giá trị trong dấu ngoặc của hàm cos, ở đây:

\[
\phi_0 = -\frac{\pi}{3} \, \text{radian}
\]

- **Tần số**: Như đã tính ở trên, \( f = 2 \, \text{Hz} \).

### c) Li độ tại thời điểm \( t = 0.5 \, s \)

Thay \( t = 0.5 \) vào phương trình:

\[
x = 10 \cos (4\pi(0.5) - \frac{\pi}{3}) = 10 \cos (2\pi - \frac{\pi}{3})
\]

Giá trị \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \) là:

\[
2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}
\]

Tính \( \cos(\frac{5\pi}{3}) \):

\[
\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
\]

Vậy:

\[
x = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{cm}
\]

### d) Vận tốc tại thời điểm \( t = 0.5 \, s \)

Vận tốc được tính bằng đạo hàm của \( x \) theo thời gian:

\[
v = \frac{dx}{dt} = -10 \omega \sin(\omega t + \phi_0)
\]

Thay \( \omega = 4\pi \) và \( \phi_0 = -\frac{\pi}{3} \):

\[
v = -10 \cdot 4\pi \sin(4\pi t - \frac{\pi}{3})
\]

Tính \( v \) tại \( t = 0.5 \):

\[
v = -40\pi \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -40\pi \sin(\frac{5\pi}{3})
\]

Tính \( \sin(\frac{5\pi}{3}) \):

\[
\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy:

\[
v = -40\pi \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 20\pi\sqrt{3} \, \text{cm/s}
\]

### Kết quả

- **a)** Biên độ: 10 cm, Chu kỳ: 0.5 s
- **b)** Pha ban đầu: \(-\frac{\pi}{3}\) radian, Tần số: 2 Hz
- **c)** Li độ tại \( t = 0.5 \, s \): 5 cm
- **d)** Vận tốc tại \( t = 0.5 \, s \): \( 20\pi\sqrt{3} \, \text{cm/s} \) (xấp xỉ 109.66 cm/s)