Để tính độ dài cạnh ACACAC trong tam giác ABCABCABC với AB=5AB = 5AB=5, BC=6BC = 6BC=6, và góc A=120∘A = 120^\circA=120∘, ta có thể sử dụng định lý cosin.

Định lý cosin phát biểu rằng:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)c2=a2+b2−2ab⋅cos(C)Trong đó:

ccc là độ dài cạnh đối diện với góc CCC
aaa và bbb là độ dài hai cạnh còn lại
Áp dụng cho tam giác ABCABCABC:

a=AB=5a = AB = 5a=AB=5
b=BC=6b = BC = 6b=BC=6
C=∠A=120∘C = \angle A = 120^\circC=∠A=120∘
c=ACc = ACc=AC
Thay vào công thức:

AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡(120∘)AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos(120∘)Ta có:

cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}cos(120∘)=−21​Vậy:

AC2=52+62−2⋅5⋅6⋅(−12)AC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)AC2=52+62−2⋅5⋅6⋅(−21​)Tính từng phần:

52=255^2 = 2552=25 62=366^2 = 3662=36 2⋅5⋅6⋅(−12)=−30⋅(−12)=152 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 152⋅5⋅6⋅(−21​)=−30⋅(−21​)=15Thay vào công thức:

AC2=25+36+15=76AC^2 = 25 + 36 + 15 = 76AC2=25+36+15=76Cuối cùng, tính ACACAC:

AC=76≈8.7178AC = \sqrt{76} \approx 8.7178AC=76​≈8.7178Làm tròn đến hàng phần mười:

AC≈8.7AC \approx 8.7AC≈8.7Vậy độ dài cạnh ACACAC là 8.7.