Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm \( g(x) = \frac{mx - 3m + 2}{x - m} \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, +\infty) \), ta cần tính đạo hàm của hàm số và xác định điều kiện để đạo hàm âm.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Sử dụng quy tắc chia, đạo hàm của \( g(x) \) là:

\[
g'(x) = \frac{(x - m)(m) - (mx - 3m + 2)(1)}{(x - m)^2}
\]

Giản lược mẫu số:

\[
g'(x) = \frac{m(x - m) - (mx - 3m + 2)}{(x - m)^2}
\]

### Bước 2: Tính tử số

Mở rộng tử số:

\[
= \frac{mx - m^2 - mx + 3m - 2}{(x - m)^2} = \frac{2m - m^2 - 2}{(x - m)^2}
\]

### Bước 3: Đặt điều kiện

Để hàm \( g(x) \) nghịch biến, ta cần \( g'(x) < 0 \):

\[
2m - m^2 - 2 < 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
-m^2 + 2m - 2 < 0
\]

### Bước 4: Giải phương trình bậc 2

Tính nghiệm của phương trình \( -m^2 + 2m - 2 = 0 \) bằng công thức:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{-2}
\]

\[
= \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{-2}
\]

Vì phương trình không có nghiệm thực, ta tìm hệ số của \( m \):

### Bước 5: Xét dấu của bậc 2

Để phương trình \( -m^2 + 2m - 2 < 0 \) luôn đúng, ta có:

- Hệ số của \( m^2 \) âm nên đồ thị là hình n parabola ngược.

### Bước 6: Tính nghiệm

Tính giá trị cực trị của \( m = 1 \) bằng cách tính giá trị ở đầu khoảng:

\[
g'(m) = 2m - m^2 - 2
\]

### Bước 7: Xác định khoảng

Do đó, hàm số sẽ nghịch biến nếu \( m > 2 \).

### Kết luận

Hàm \( g(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, +\infty) \) khi \( m > 2 \).

Để tìm giá trị của mmm sao cho hàm số g(x)=mx−3m+2x−mg(x) = \frac{mx - 3m + 2}{x - m}g(x)=x−mmx−3m+2​ nghịch biến trên khoảng (−1,+∞)(-1, +\infty)(−1,+∞), ta cần xem xét đạo hàm của hàm số này.

Bước 1: Tính đạo hàm g′(x)g'(x)g′(x)
Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có:

g′(x)=(x−m)(m)−(mx−3m+2)(1)(x−m)2g'(x) = \frac{(x - m)(m) - (mx - 3m + 2)(1)}{(x - m)^2}g′(x)=(x−m)2(x−m)(m)−(mx−3m+2)(1)​Tính tử số:

=m(x−m)−(mx−3m+2)(x−m)2= \frac{m(x - m) - (mx - 3m + 2)}{(x - m)^2}=(x−m)2m(x−m)−(mx−3m+2)​ =mx−m2−mx+3m−2(x−m)2= \frac{mx - m^2 - mx + 3m - 2}{(x - m)^2}=(x−m)2mx−m2−mx+3m−2​ =3m−m2−2(x−m)2= \frac{3m - m^2 - 2}{(x - m)^2}=(x−m)23m−m2−2​Bước 2: Đặt điều kiện cho g′(x)<0g'(x) < 0g′(x)<0
Để hàm g(x)g(x)g(x) nghịch biến, ta cần g′(x)<0g'(x) < 0g′(x)<0:

3m−m2−2<03m - m^2 - 2 < 03m−m2−2<0Bước 3: Giải bất phương trình
Biến đổi bất phương trình:

−m2+3m−2<0-m^2 + 3m - 2 < 0−m2+3m−2<0 m2−3m+2>0m^2 - 3m + 2 > 0m2−3m+2>0Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 2
Giải phương trình m2−3m+2=0m^2 - 3m + 2 = 0m2−3m+2=0:

(m−1)(m−2)=0(m - 1)(m - 2) = 0(m−1)(m−2)=0Nghiệm là m=1m = 1m=1 và m=2m = 2m=2.

Bước 5: Xét dấu của bất phương trình
Ta có:

m<1m < 1m<1: (+)(+)>0(+)(+) > 0(+)(+)>0
1<m<21 < m < 21<m<2: (−)(+)<0(-)(+) < 0(−)(+)<0
m>2m > 2m>2: (−)(−)>0(-)(-) > 0(−)(−)>0
Vậy m2−3m+2>0m^2 - 3m + 2 > 0m2−3m+2>0 khi m<1m < 1m<1 hoặc m>2m > 2m>2.

Kết luận
Hàm g(x)g(x)g(x) nghịch biến trên (−1,+∞)(-1, +\infty)(−1,+∞) khi:

m<1hoặcm>2m < 1 \quad \text{hoặc} \quad m > 2m<1hoặcm>2