### Bài 1: Thực hiện phép nhân

#### a) \( M = (2x^3y) \cdot (x^2 - 2y + 1) \)

Áp dụng phân phối từng hạng tử của \( 2x^3y \) vào các hạng tử của \( x^2 - 2y + 1 \):

\[
M = 2x^3y \cdot x^2 - 2x^3y \cdot 2y + 2x^3y \cdot 1
\]

\[
M = 2x^5y - 4x^3y^2 + 2x^3y
\]

Vậy \( M = 2x^5y - 4x^3y^2 + 2x^3y \).

#### b) \( N = (2xy^3 - 4y - 8x) \cdot \left( \frac{1}{2}y \right) \)

Áp dụng phân phối từng hạng tử của \( \frac{1}{2}y \) vào các hạng tử của \( 2xy^3 - 4y - 8x \):

\[
N = 2xy^3 \cdot \frac{1}{2}y - 4y \cdot \frac{1}{2}y - 8x \cdot \frac{1}{2}y
\]

\[
N = xy^4 - 2y^2 - 4xy
\]

Vậy \( N = xy^4 - 2y^2 - 4xy \).

#### c) \( P = x^2y \cdot (xy^2 - x^2 - \frac{1}{2}y^3) \)

Áp dụng phân phối từng hạng tử của \( x^2y \):

\[
P = x^2y \cdot xy^2 - x^2y \cdot x^2 - x^2y \cdot \frac{1}{2}y^3
\]

\[
P = x^3y^3 - x^4y - \frac{1}{2}x^2y^4
\]

Vậy \( P = x^3y^3 - x^4y - \frac{1}{2}x^2y^4 \).

### Bài 2: Nhân đa thức A với đa thức B

Biết rằng \( A = \left( -\frac{1}{2}x^2y \right)^2 \) và \( B = 4x^2 + 4xy^2 \).

Tính \( A \):

\[
A = \left( -\frac{1}{2}x^2y \right)^2 = \frac{1}{4}x^4y^2
\]

Nhân \( A \) với \( B \):

\[
A \cdot B = \frac{1}{4}x^4y^2 \cdot (4x^2 + 4xy^2)
\]

\[
= \frac{1}{4}x^4y^2 \cdot 4x^2 + \frac{1}{4}x^4y^2 \cdot 4xy^2
\]

\[
= x^6y^2 + x^5y^4
\]

Vậy kết quả là \( A \cdot B = x^6y^2 + x^5y^4 \).

### Bài 3: Thực hiện phép nhân

#### a) \( (x + y)(x^2y - x) \)

Áp dụng phân phối:

\[
(x + y)(x^2y - x) = x(x^2y - x) + y(x^2y - x)
\]

\[
= x^3y - x^2 + x^2y^2 - xy
\]

Vậy kết quả là \( x^3y - x^2 + x^2y^2 - xy \).

#### b) \( (x + 2y)(x^2 - 2y + 4x) \)

Áp dụng phân phối:

\[
(x + 2y)(x^2 - 2y + 4x) = x(x^2 - 2y + 4x) + 2y(x^2 - 2y + 4x)
\]

\[
= x^3 - 2xy + 4x^2 + 2x^2y - 4y^2 + 8xy
\]

Gộp các hạng tử giống nhau:

\[
= x^3 + 4x^2 + 6xy - 4y^2
\]

Vậy kết quả là \( x^3 + 4x^2 + 6xy - 4y^2 \).

#### c) \( (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \)

Áp dụng phân phối:

\[
(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) = x(x^2 + 2xy + 4y^2) - 2y(x^2 + 2xy + 4y^2)
\]

\[
= x^3 + 2x^2y + 4xy^2 - 2x^2y - 4xy^2 - 8y^3
\]

Gộp các hạng tử giống nhau:

\[
= x^3 - 8y^3
\]

Vậy kết quả là \( x^3 - 8y^3 \).

### Bài 4: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

#### a) \( M = (2x - \frac{1}{2}y)(2x + \frac{1}{2}y) \)

Sử dụng hằng đẳng thức \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):

\[
M = (2x)^2 - \left( \frac{1}{2}y \right)^2
\]

\[
M = 4x^2 - \frac{1}{4}y^2
\]

Tính giá trị của \( M \) tại \( x = -\frac{1}{2} \) và \( y = 4 \):

\[
M = 4\left( -\frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} \cdot 4^2
\]

\[
M = 4 \times \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \times 16
\]

\[
M = 1 - 4 = -3
\]

Vậy \( M = -3 \).

#### b) \( N = (2x - y^2)(4x^2 + 2xy^2 + y^4) \)

Sử dụng phân phối:

\[
N = 2x(4x^2 + 2xy^2 + y^4) - y^2(4x^2 + 2xy^2 + y^4)
\]

\[
= 8x^3 + 4x^2y^2 + 2xy^4 - 4x^2y^2 - 2xy^4 - y^6
\]

Gộp các hạng tử giống nhau:

\[
N = 8x^3 - y^6
\]

Tính giá trị của \( N \) tại \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = 2 \):

\[
N = 8\left( \frac{1}{2} \right)^3 - 2^6
\]

\[
N = 8 \times \frac{1}{8} - 64
\]

\[
N = 1 - 64 = -63
\]

Vậy \( N = -63 \).