Để giải bài toán, ta có \( \sin x = \frac{5}{13} \) với \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \), tức là \( x \) nằm trong phần II của hệ trục tọa độ.

### a) Tính \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) \) và \( \cos(\frac{\pi}{4} - x) \)

**Tính \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) \)**:

Sử dụng công thức:
\[
\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
\]

Áp dụng vào:
- \( a = x \)
- \( b = \frac{\pi}{3} \)

Biết rằng:
- \( \sin x = \frac{5}{13} \)
- \( \cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \)

Và:
- \( \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)
- \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Tính \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) \):
\[
\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3}
\]
\[
= \frac{5}{13} \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= \frac{5}{26} + \frac{12\sqrt{3}}{26} = \frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}
\]

**Tính \( \cos(\frac{\pi}{4} - x) \)**:

Sử dụng công thức:
\[
\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\]

Với:
- \( a = \frac{\pi}{4} \)
- \( b = x \)

Ta có:
- \( \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Tính \( \cos(\frac{\pi}{4} - x) \):
\[
\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \cos\frac{\pi}{4} \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \sin x
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{13}
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{12}{13} + \frac{5}{13}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{7}{13}\right) = -\frac{7\sqrt{2}}{26}
\]

### b) Tính GTLG của góc \( 2x \)

Sử dụng công thức:
\[
\sin(2x) = 2 \sin x \cos x
\]

Tính:
\[
\sin(2x) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{120}{169}
\]

### c) Tính \( \sin \frac{x}{2} \)

Sử dụng công thức:
\[
\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}
\]

Tính \( \cos x = -\frac{12}{13} \):
\[
\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}
\]

### Kết quả

- a) \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{5 + 12\sqrt{3}}{26} \), \( \cos(\frac{\pi}{4} - x) = -\frac{7\sqrt{2}}{26} \)
- b) \( \sin(2x) = -\frac{120}{169} \)
- c) \( \sin \frac{x}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26} \)