Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ các phép toán và cách biểu diễn các số hỗn hợp. Chúng ta có:

**Bài toán**: \( 15 - 2 \frac{1}{3} \colon \left( \frac{4}{9} - \frac{1}{6} \right) \)

1. **Chuyển đổi số hỗn hợp**:
- \( 2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \)

2. **Tính phần trong ngoặc**:
\[
\frac{4}{9} - \frac{1}{6}
\]
Để thực hiện phép trừ này, chúng ta cần tìm mẫu số chung cho \( \frac{4}{9} \) và \( \frac{1}{6} \). Mẫu số chung nhỏ nhất giữa 9 và 6 là 18.
- Chuyển đổi phân số:
\[
\frac{4}{9} = \frac{4 \times 2}{9 \times 2} = \frac{8}{18}
\]
\[
\frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18}
\]
- Thực hiện phép trừ:
\[
\frac{8}{18} - \frac{3}{18} = \frac{5}{18}
\]

3. **Thay thế và thực hiện phép tính chính**:
\[
15 - \frac{7}{3} \colon \frac{5}{18}
\]
Đầu tiên, để thực hiện phép chia, ta cần nhân với nghịch đảo của \(\frac{5}{18}\):
\[
\frac{7}{3} \colon \frac{5}{18} = \frac{7}{3} \times \frac{18}{5} = \frac{7 \times 18}{3 \times 5}
\]
Tính toán:
\[
\frac{7 \times 18}{3 \times 5} = \frac{126}{15} = \frac{21}{5}
\]

4. **Tiếp tục với phép trừ**:
Cuối cùng là \( 15 - \frac{21}{5} \). Để thực hiện phép trừ này, ta cần đưa 15 về mẫu số 5:
\[
15 = \frac{75}{5}
\]
\[
\frac{75}{5} - \frac{21}{5} = \frac{75 - 21}{5} = \frac{54}{5}
\]

Kết quả cuối cùng của bài toán là:
\[
\frac{54}{5} \quad \text{(hay 10.8 nếu chuyển sang số thập phân)}
\]

Hy vọng tôi đã giúp bạn giải được bài này!