Để phân tích và tìm hiểu về biểu thức \( y = \frac{x^3}{x^2 - 1} \), chúng ta sẽ tiến hành các bước như sau: xác định miền xác định, tìm giới hạn, đạo hàm và đồ thị của hàm số.

### 1. **Xác định miền xác định**
Hàm \( y = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) sẽ không xác định khi mẫu số bằng 0:

\[
x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
\]

Vậy, miền xác định của hàm là \( x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) \).

### 2. **Tính giới hạn**
Ta cần tính giới hạn khi \( x \) tiến đến các giá trị mà hàm không xác định.

- **Giới hạn khi \( x \to 1 \):**

\[
\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^3}{x^2 - 1}
\]

Sử dụng quy tắc L'Hôpital (vì đây là dạng \(\frac{0}{0}\)):

\[
\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{2x} = \frac{3 \cdot 1^2}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}
\]

- **Giới hạn khi \( x \to -1 \):**

\[
\lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{-1^3}{-1^2 - 1} = \frac{-1}{-1 - 1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}
\]

- **Giới hạn khi \( x \to \infty \):**

\[
\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1 - \frac{1}{x^2}} = +\infty
\]

- **Giới hạn khi \( x \to -\infty \):**

\[
\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1 - \frac{1}{x^2}} = -\infty
\]

### 3. **Tính đạo hàm**
Để tìm các điểm cực trị và tính chất của hàm số, ta sẽ tính đạo hàm \( y' \).

Sử dụng quy tắc đạo hàm cho thương:

\[
y' = \frac{(3x^2)(x^2 - 1) - (x^3)(2x)}{(x^2 - 1)^2}
\]

Đơn giản hóa biểu thức:

\[
y' = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}
\]

### 4. **Đồ thị của hàm số**
Hàm số có các đặc điểm sau:
- Tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \), hàm số có tiệm cận đứng.
- Hàm số đồng biến trên các khoảng mà không chứa các điểm không xác định.
- Tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = \sqrt{3} \) (hoặc \( x = -\sqrt{3} \)), hàm số có thể có các cực trị.

### 5. **Kết luận**
Hàm số \( y = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) có nhiều đặc điểm thú vị và đáng chú ý. Việc phân tích miền xác định, giới hạn, đạo hàm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình dạng của đồ thị hàm số và tính chất của nó. Nếu cần, chúng ta có thể vẽ đồ thị để hình dung rõ hơn về hàm số này.