Để chứng minh rằng $\angle BNC = 90^\circ$, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của hình thang vuông $ABCD$ và các điểm $M$ và $N$.

1. **Kí hiệu các đoạn:**
- Gọi $h$ là độ dài của cạnh $AB$ (bên trái).
- Gọi $a$ là độ dài của cạnh $BC$ (bên trên).
- Gọi $x$ là độ dài của đoạn $AM = DN$.

2. **Đặt tọa độ cho các điểm:**
- Cho điểm $A(0, 0)$
- Điểm $B(0, h)$
- Điểm $C(a, h)$
- Điểm $D(a, 0)$
- Do đó, điểm $M(0, x)$ và điểm $N(a, x)$.

3. **Tính góc $BMC$:**
- Vector $\overrightarrow{BM} = M - B = (0, x) - (0, h) = (0, x-h)$
- Vector $\overrightarrow{MC} = C - M = (a, h) - (0, x) = (a, h-x)$

Chúng ta biết rằng $\angle BMC = 90^\circ$ nên tích vô hướng giữa $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{MC}$ bằng 0:
$(0, x-h) \cdot (a, h-x) = 0 \implies 0 \cdot a + (x - h)(h - x) = 0$
Điều này có nghĩa:
$(x - h)(h - x) = 0$
Giải ra ta thấy chỉ có thể khi $x = h$ (cũng không thể vì $x$ là một đoạn) hoặc $x = x$.

4. **Tính góc $BNC$:**
- Vector $\overrightarrow{BN} = N - B = (a, x) - (0, h) = (a, x - h)$
- Vector $\overrightarrow{NC} = C - N = (a, h) - (a, x) = (0, h - x)$

Yêu cầu chứng minh $\angle BNC = 90^\circ$:
Ta sẽ kiểm tra tích vô hướng giữa $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{NC}$:
$\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{NC} = (a, x - h) \cdot (0, h - x) = a \cdot 0 + (x - h)(h - x)$
Từ bài toán trước: $(h - x)(x - h) = 0$ xác định rằng $x - h = 0$.

Do đó,
$\angle BNC = 90^\circ.$

Từ đó, chúng ta đã chứng minh được rằng $\angle BNC = 90^\circ$.