Để chứng minh rằng \( \angle BNC = 90^\circ \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của hình thang vuông \( ABCD \) và các điểm \( M \) và \( N \).

1. **Kí hiệu các đoạn:**
- Gọi \( h \) là độ dài của cạnh \( AB \) (bên trái).
- Gọi \( a \) là độ dài của cạnh \( BC \) (bên trên).
- Gọi \( x \) là độ dài của đoạn \( AM = DN \).

2. **Đặt tọa độ cho các điểm:**
- Cho điểm \( A(0, 0) \)
- Điểm \( B(0, h) \)
- Điểm \( C(a, h) \)
- Điểm \( D(a, 0) \)
- Do đó, điểm \( M(0, x) \) và điểm \( N(a, x) \).

3. **Tính góc \( BMC \):**
- Vector \( \overrightarrow{BM} = M - B = (0, x) - (0, h) = (0, x-h) \)
- Vector \( \overrightarrow{MC} = C - M = (a, h) - (0, x) = (a, h-x) \)

Chúng ta biết rằng \( \angle BMC = 90^\circ \) nên tích vô hướng giữa \( \overrightarrow{BM} \) và \( \overrightarrow{MC} \) bằng 0:
\[
(0, x-h) \cdot (a, h-x) = 0 \implies 0 \cdot a + (x - h)(h - x) = 0
\]
Điều này có nghĩa:
\[
(x - h)(h - x) = 0
\]
Giải ra ta thấy chỉ có thể khi \( x = h \) (cũng không thể vì \( x \) là một đoạn) hoặc \( x = x\).

4. **Tính góc \( BNC \):**
- Vector \( \overrightarrow{BN} = N - B = (a, x) - (0, h) = (a, x - h) \)
- Vector \( \overrightarrow{NC} = C - N = (a, h) - (a, x) = (0, h - x) \)

Yêu cầu chứng minh \( \angle BNC = 90^\circ \):
Ta sẽ kiểm tra tích vô hướng giữa \( \overrightarrow{BN} \) và \( \overrightarrow{NC} \):
\[
\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{NC} = (a, x - h) \cdot (0, h - x) = a \cdot 0 + (x - h)(h - x)
\]
Từ bài toán trước: \( (h - x)(x - h) = 0 \) xác định rằng \( x - h = 0 \).

Do đó,
\[
\angle BNC = 90^\circ.
\]

Từ đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \( \angle BNC = 90^\circ \).