Để giải phương trình \( \sin(x + \frac{2\pi}{3}) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) \), ta có thể sử dụng tính chất của hàm sin, theo đó:

\[
\sin A = \sin B \implies A = B + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### Bước 1: Thiết lập các phương trình

Từ trường hợp đầu tiên:

1. \( x + \frac{2\pi}{3} = x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)

Từ trường hợp thứ hai:

2. \( x + \frac{2\pi}{3} = \pi - (x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \)

### Bước 2: Giải phương trình đầu tiên

Cho trường hợp đầu tiên:

\[
x + \frac{2\pi}{3} = x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

Trừ \( x \) ở cả hai bên:

\[
\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

Bây giờ, tách \( k \):

\[
\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2k\pi
\]

Tìm mẫu số chung (là 12):

\[
\frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = 2k\pi
\]

\[
\frac{5\pi}{12} = 2k\pi
\]

Chia cả hai bên cho \( 2\pi \):

\[
k = \frac{5}{24}
\]

### Bước 3: Giải phương trình thứ hai

Cho trường hợp thứ hai:

\[
x + \frac{2\pi}{3} = \pi - (x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi
\]

Rút gọn sẽ cho:

\[
x + \frac{2\pi}{3} = \pi - x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

Sắp xếp lại:

\[
x + \frac{2\pi}{3} + x + \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi
\]

Gộp các hạng tử:

\[
2x + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = (1 + 2k)\pi
\]

Tìm mẫu số chung (là 12):

\[
2x + \frac{8\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = (1 + 2k)\pi
\]

\[
2x + \frac{11\pi}{12} = (1 + 2k)\pi
\]

Sắp xếp lại cho:

\[
2x = (1 + 2k)\pi - \frac{11\pi}{12}
\]

Tìm mẫu số chung:

\[
2x = \frac{12(1 + 2k) - 11}{12}\pi
\]

\[
2x = \frac{12 + 24k - 11}{12}\pi
\]

Chia cho 2:

\[
x = \frac{1 + 24k}{24}\pi
\]

### Kết luận

Các nghiệm có thể được diễn đạt theo \( k \):

1. Từ trường hợp đầu tiên: \( x = \frac{5}{24} + 2k \)
2. Từ trường hợp thứ hai: \( x = \frac{1 + 24k}{24} \)