Để tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = x^3 + 2x^2 + 4x + 5 \), ta làm các bước sau:

### 1. Tính đạo hàm của hàm số
Ta cần tính đạo hàm \( y' \) của hàm số \( y = x^3 + 2x^2 + 4x + 5 \).

\[
y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 + 4x + 5)
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm:

\[
y' = 3x^2 + 4x + 4
\]

### 2. Xét dấu của đạo hàm \( y' \)
- Hàm số sẽ đồng biến trên khoảng nào thì \( y' > 0 \), và nghịch biến trên khoảng nào thì \( y' < 0 \).
- Để xác định khoảng đơn điệu, ta giải phương trình \( y' = 0 \), tức là:

\[
3x^2 + 4x + 4 = 0
\]

Xét discriminant \( \Delta \) của phương trình bậc hai:

\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32
\]

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( 3x^2 + 4x + 4 = 0 \) vô nghiệm.

Do đó, đạo hàm \( y' = 3x^2 + 4x + 4 \) luôn dương với mọi \( x \).

### 3. Kết luận về tính đơn điệu
Vì đạo hàm \( y' > 0 \) với mọi \( x \), nên hàm số luôn **đồng biến** trên toàn bộ tập xác định \( \mathbb{R} \).

### 4. Cực trị
Do đạo hàm \( y' \) không có nghiệm, nên hàm số không có điểm cực trị.

### Kết luận:
- Hàm số \( y = x^3 + 2x^2 + 4x + 5 \) **luôn đồng biến** trên toàn bộ trục số thực \( \mathbb{R} \).
- Hàm số **không có cực trị**.