Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = (x+1) \cdot (x-2)^{2024} \cdot (x-3)^3 \cdot (x+5)^4 \), chúng ta cần phân tích điều kiện cực trị từ \( f'(x) \).

**Bước 1: Xác định các điểm mà \( f'(x) = 0 \)**

Đạo hàm \( f'(x) = 0 \) khi \( (x+1) = 0 \), \( (x-2)^{2024} = 0 \), \( (x-3)^3 = 0 \), hoặc \( (x+5)^4 = 0 \). Điều này cho ta các nghiệm:

- \( x + 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \)
- \( (x - 2)^{2024} = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 2 \)
- \( (x - 3)^3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 3 \)
- \( (x + 5)^4 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -5 \)

Vậy các điểm cần kiểm tra là \( x = -5 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \), và \( x = 3 \).

**Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) quanh các điểm này để xác định cực trị**

- **Tại \( x = -5 \)**:
\[
f'(x) = (x+1) \cdot (x-2)^{2024} \cdot (x-3)^3 \cdot (x+5)^4
\]
Khi \( x = -5 \), \( f'(-5) = 0 \). Xét sự thay đổi dấu của \( f'(x) \) xung quanh \( x = -5 \):
\[
(x+5)^4 \text{ có số mũ chẵn} \Rightarrow \text{ không thay đổi dấu tại } x = -5
\]
\[
\text{Kết quả: } x = -5 \text{ là điểm cực trị}
\]

- **Tại \( x = -1 \)**:
\[
f'(-1) = (-1+1) \cdot (-1-2)^{2024} \cdot (-1-3)^3 \cdot (-1+5)^4 = 0
\]
Xét sự thay đổi dấu của \( f'(x) \) xung quanh \( x = -1 \):
\[
(x+1) \text{ có số mũ lẻ} \Rightarrow \text{ thay đổi dấu tại } x = -1
\]
\[
\text{Kết quả: } x = -1 \text{ là điểm cực trị}
\]

- **Tại \( x = 2 \)**:
\[
f'(2) = (2+1) \cdot (2-2)^{2024} \cdot (2-3)^3 \cdot (2+5)^4 = 0
\]
Xét sự thay đổi dấu của \( f'(x) \) xung quanh \( x = 2 \):
\[
(x-2)^{2024} \text{ có số mũ chẵn} \Rightarrow \text{ không thay đổi dấu tại } x = 2
\]
\[
\text{Kết quả: } x = 2 \text{ không phải là điểm cực trị}
\]

- **Tại \( x = 3 \)**:
\[
f'(3) = (3+1) \cdot (3-2)^{2024} \cdot (3-3)^3 \cdot (3+5)^4 = 0
\]
Xét sự thay đổi dấu của \( f'(x) \) xung quanh \( x = 3 \):
\[
(x-3)^3 \text{ có số mũ lẻ} \Rightarrow \text{ thay đổi dấu tại } x = 3
\]
\[
\text{Kết quả: } x = 3 \text{ là điểm cực trị}
\]

**Kết luận:**
Hàm số \( f(x) \) có 3 điểm cực trị, tương ứng với các điểm \( x = -5 \), \( x = -1 \), và \( x = 3 \).