Để phân tích đa thức \(6x^2y - 12xy^2\) thành nhân tử, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. **Tìm hệ số chung lớn nhất (HSC)**
Trước tiên, ta tìm hệ số chung lớn nhất của các hệ số trong đa thức.

- Các hệ số của đa thức là 6 và -12.
- Hệ số chung lớn nhất của 6 và -12 là 6.

### 2. **Tìm biến chung và bậc nhỏ nhất của các biến**
- Trong đa thức \(6x^2y - 12xy^2\), ta tìm biến chung và bậc nhỏ nhất của chúng.

- Biến chung là \(x\) và \(y\).
- Bậc nhỏ nhất của \(x\) là \(x^1\) và của \(y\) là \(y^1\).

### 3. **Rút gọn hệ số và các biến**
- Rút gọn mỗi phần tử trong đa thức với hệ số chung và các biến:

- Phần tử đầu tiên: \(6x^2y\)
- Phần tử thứ hai: \(-12xy^2\)

Ta có:
\[
6x^2y = 6 \cdot x \cdot x \cdot y
\]
\[
-12xy^2 = -6 \cdot 2 \cdot x \cdot y \cdot y
\]

- Hệ số chung là 6 và biến chung là \(xy\), do đó:
\[
6x^2y - 12xy^2 = 6xy(x - 2y)
\]

### 4. **Phân tích đa thức**

Để phân tích đa thức \(6x^2y - 12xy^2\), ta rút gọn đa thức như sau:

1. **Rút gọn hệ số**:
\[
6x^2y - 12xy^2 = 6(x^2y - 2xy^2)
\]

2. **Rút gọn biến chung**:
\[
x^2y - 2xy^2 = xy(x - 2y)
\]

3. **Kết hợp**:
\[
6(x^2y - 2xy^2) = 6xy(x - 2y)
\]

### Kết quả phân tích thành nhân tử:

\[
6x^2y - 12xy^2 = 6xy(x - 2y)
\]

Đây là dạng phân tích thành nhân tử của đa thức \(6x^2y - 12xy^2\).

Dưới đây là các phân tích đa thức thành nhân tử cho từng bài toán:

1. **\(6x^2y - 12xy^2\)**

Tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) của các hệ số và biến:

\[
6x^2y - 12xy^2 = 6xy(x - 2y)
\]

2. **\(12x^3y^2z^2 - 18x^2y^2z^4\)**

Tìm USCLN của các hệ số và biến:

\[
12x^3y^2z^2 - 18x^2y^2z^4 = 6x^2y^2z^2(2x - 3z^2)
\]

3. **\(12x - 9 - 4x^2\)**

Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của \(x\):

\[
-4x^2 + 12x - 9
\]

Chia đa thức ra thành các nhóm và phân tích:

\[
-4x^2 + 12x - 9 = - (4x^2 - 12x + 9) = - (2x - 3)^2
\]

4. **\(x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3\)**

Nhóm các hạng tử lại và phân tích theo nhóm:

\[
x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 = (x - 2y)^3
\]

5. **\(5x^2 + 10xy - 4x - 8y\)**

Nhóm các hạng tử và phân tích theo nhóm:

\[
5x^2 + 10xy - 4x - 8y = (5x - 4)(x + 2y)
\]

6. **\(4x^2 - 3x - 6y + 8xy\)**

Nhóm các hạng tử và phân tích theo nhóm:

\[
4x^2 - 3x - 6y + 8xy = (4x - 3)(x + 2y)
\]

7. **\(8x^2 - 3x - 3y + 8xy\)**

Nhóm các hạng tử và phân tích theo nhóm:

\[
8x^2 - 3x - 3y + 8xy = (8x - 3)(x + y)
\]

8. **\(mn^3 - 1 + m - n^2\)**

Sắp xếp lại để phân tích:

\[
mn^3 - n^2 + m - 1 = m(n^3 + 1) - n^2
\]

Sử dụng công thức phân tích:

\[
= m(n + 1)(n^2 - n + 1) - n^2 = (m - 1)(n + 1)(n^2 - n + 1)
\]

9. **\(x^3 - 5x + 4\)**

Tìm nghiệm và phân tích:

Nghiệm của phương trình là \(x = 1\) và \(x = -4\), ta có:

\[
x^3 - 5x + 4 = (x - 1)(x^2 + x - 4)
\]

10. **\(4x^2 - 1 + (1 - 2x)^2\)**

Phân tích biểu thức:

\[
(1 - 2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2
\]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[
4x^2 - 1 + (1 - 2x)^2 = 4x^2 - 1 + 1 - 4x + 4x^2 = 8x^2 - 4x
\]

Phân tích ra:

\[
8x^2 - 4x = 4x(2x - 1)
\]