Để tính diện tích khoảng trống nhỏ giữa ba hình tròn có bán kính lần lượt là \( r_1 = 1 \text{ m} \), \( r_2 = 2 \text{ m} \), và \( r_3 = 3 \text{ m} \) nằm trên một mặt phẳng và tiếp xúc nhau tại hai điểm của mỗi hình tròn, chúng ta có thể sử dụng các công thức hình học liên quan đến diện tích tam giác và diện tích hình tròn.

### Các bước để tính diện tích khoảng trống

1. **Tính diện tích tam giác được tạo ra bởi các tâm của ba hình tròn:**

Các tâm của ba hình tròn sẽ tạo thành một tam giác. Để tính diện tích tam giác này, chúng ta cần biết độ dài các cạnh của nó. Độ dài của mỗi cạnh sẽ bằng tổng bán kính của hai hình tròn tiếp xúc.

- Cạnh giữa hai hình tròn có bán kính \( r_1 \) và \( r_2 \) là \( r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 \text{ m} \).
- Cạnh giữa hai hình tròn có bán kính \( r_2 \) và \( r_3 \) là \( r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5 \text{ m} \).
- Cạnh giữa hai hình tròn có bán kính \( r_1 \) và \( r_3 \) là \( r_1 + r_3 = 1 + 3 = 4 \text{ m} \).

Gọi các cạnh này lần lượt là \( a = 3 \text{ m} \), \( b = 5 \text{ m} \), và \( c = 4 \text{ m} \).

Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác:

- Diện tích \( \Delta \) của tam giác được tính bằng công thức Heron:

\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 5 + 4}{2} = 6 \text{ m}
\]

\[
\Delta = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}
\]

\[
\Delta = \sqrt{6 \cdot (6 - 3) \cdot (6 - 5) \cdot (6 - 4)}
\]

\[
\Delta = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}^2
\]

2. **Tính diện tích của các hình tròn nhỏ hơn được tạo ra bởi các phần giao nhau:**

Diện tích khoảng trống giữa ba hình tròn không bao gồm diện tích giao nhau của các hình tròn.

Diện tích của ba phần giao nhau giữa các hình tròn (được gọi là diện tích của ba phần giao nhau) không phải là diện tích trống giữa chúng. Do đó, bạn không cần phải tính diện tích của ba phần giao nhau trong bài toán này.

### Tổng kết

Diện tích khoảng trống nhỏ giữa ba hình tròn là diện tích của tam giác được tạo thành bởi các tâm của ba hình tròn, được tính là:

\[
\text{Diện tích khoảng trống} = 6 \text{ m}^2
\]

Để tính diện tích khoảng trống giữa ba hình tròn, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính diện tích của ba hình tròn**:
Các hình tròn có bán kính lần lượt là \(r_1 = 1\) m, \(r_2 = 2\) m và \(r_3 = 3\) m.
- Diện tích hình tròn 1:
\[
S_1 = \pi r_1^2 = \pi (1^2) = \pi
\]

- Diện tích hình tròn 2:
\[
S_2 = \pi r_2^2 = \pi (2^2) = 4\pi
\]

- Diện tích hình tròn 3:
\[
S_3 = \pi r_3^2 = \pi (3^2) = 9\pi
\]

2. **Diện tích tổng của ba hình tròn**:
\[
S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi + 4\pi + 9\pi = 14\pi
\]

3. **Xác định diện tích tổng hợp của tam giác tạo thành bởi các trung điểm của ba hình tròn**:
Đầu tiên, ta sẽ tính bán kính của hình tròn nhỏ nằm giữa ba hình tròn lớn (được gọi là hình tròn nội tiếp).

- Cạnh của tam giác được hình thành giữa các tâm của ba hình tròn là:
\[
a = r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 \text{ m}
\]
\[
b = r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5 \text{ m}
\]
\[
c = r_1 + r_3 = 1 + 3 = 4 \text{ m}
\]

- Diện tích \(D\) của tam giác với các cạnh \(a\), \(b\), và \(c\) có thể được tính bằng công thức Heron:
- Đầu tiên tính chu vi \(p\):
\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 5 + 4}{2} = 6
\]

- Diện tích tam giác \(D\):
\[
D = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{6(6-3)(6-5)(6-4)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}^2
\]

4. **Tính diện tích khoảng trống**:
Diện tích khoảng trống giữa ba hình tròn sẽ được tính bằng công thức:
\[
S_{gap} = S_{total} - D = 14\pi - 6
\]

**Kết quả**:
Diện tích khoảng trống giữa ba hình tròn là:
\[
S_{gap} = 14\pi - 6 \text{ m}^2.
\]

Tuy nhiên, nếu bạn cần một giá trị cụ thể với số thập phân (xấp xỉ cho \(\pi\)), bạn có thể thay thế:
\[
\pi \approx 3.14 \Rightarrow 14\pi - 6 \approx 14 \cdot 3.14 - 6 = 43.96 - 6 = 37.96 \text{ m}^2
\]

Vậy diện tích khoảng trống ước tính là \(37.96 \text{ m}^2\).