Để rút gọn biểu thức \(\frac{1}{\tan a} + 1 + \frac{1}{\cot a} + 1\), ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Thay thế các hàm số lượng giác

Biểu thức là:
\[
\frac{1}{\tan a} + 1 + \frac{1}{\cot a} + 1
\]

Nhớ rằng:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a}
\]
và do đó:
\[
\frac{1}{\cot a} = \tan a
\]

### Bước 2: Thay thế và đơn giản hóa

Thay \(\frac{1}{\cot a}\) bằng \(\tan a\):
\[
\frac{1}{\tan a} + 1 + \tan a + 1
\]

Nhóm các số hạng:
\[
\frac{1}{\tan a} + \tan a + 2
\]

### Bước 3: Rút gọn biểu thức

Biểu thức \(\frac{1}{\tan a} + \tan a\) có thể được rút gọn bằng cách cộng các phần tử này lại, tuy nhiên nó không thể được rút gọn thêm theo dạng đơn giản hơn vì đây là một tổng của một phân số và hàm lượng giác. Do đó, biểu thức rút gọn tối đa của nó là:

\[
\frac{1}{\tan a} + \tan a + 2
\]

### Kết luận

Biểu thức rút gọn của \(\frac{1}{\tan a} + 1 + \frac{1}{\cot a} + 1\) là:

\[
\frac{1}{\tan a} + \tan a + 2
\]