Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số \( y = \sqrt{x^2 - x - 20} \), chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Xác định miền xác định của hàm số

Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - x - 20} \) chỉ có nghĩa khi biểu thức trong dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
x^2 - x - 20 \geq 0
\]

Giải bất phương trình bậc 2 này bằng cách phân tích thành nhân tử:

\[
x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)
\]

Bất phương trình trở thành:

\[
(x - 5)(x + 4) \geq 0
\]

Xác định các nghiệm của bất phương trình: \( x = 5 \) và \( x = -4 \). Sử dụng dấu của các đoạn giữa và ngoài các nghiệm để xác định miền nghiệm:

- \( x \leq -4 \)
- \( x \geq 5 \)

Vậy miền xác định của hàm số là:

\[
x \leq -4 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 5
\]

### 2. Tính đạo hàm của hàm số

Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số.

\[
y = \sqrt{x^2 - x - 20}
\]

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số dưới dấu căn, \( y = \sqrt{u} \) với \( u = x^2 - x - 20 \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}
\]

Tính đạo hàm của \( u \):

\[
\frac{du}{dx} = 2x - 1
\]

Vậy:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 20}}
\]

### 3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến

Xét dấu của đạo hàm để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến:

- Hàm số đồng biến khi \( \frac{dy}{dx} > 0 \):
\[
\frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 20}} > 0
\]
Điều này tương đương với \( 2x - 1 > 0 \):
\[
2x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}
\]

- Hàm số nghịch biến khi \( \frac{dy}{dx} < 0 \):
\[
\frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 20}} < 0
\]
Điều này tương đương với \( 2x - 1 < 0 \):
\[
2x - 1 < 0 \implies x < \frac{1}{2}
\]

Kết hợp với miền xác định của hàm số, chúng ta có:

- **Khoảng đồng biến**: Xét \( x > \frac{1}{2} \) và miền xác định \( x \geq 5 \), nên hàm số đồng biến trên khoảng \( [5, \infty) \).

- **Khoảng nghịch biến**: Xét \( x < \frac{1}{2} \) và miền xác định \( x \leq -4 \), nên hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -4] \).

### 4. Tìm cực trị của hàm số

Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - x - 20} \) không có cực trị trong miền xác định của nó, vì đạo hàm \( \frac{dy}{dx} \) không bao giờ bằng 0 trong các khoảng đã xét. Thay vào đó, hàm số chỉ thay đổi dấu đồng biến và nghịch biến ở các ranh giới của miền xác định.

### Tóm tắt

- **Miền xác định**: \( x \leq -4 \) hoặc \( x \geq 5 \).
- **Khoảng đồng biến**: \( [5, \infty) \).
- **Khoảng nghịch biến**: \( (-\infty, -4] \).
- **Cực trị**: Không có cực trị trong miền xác định của hàm số.