Cho các số nguyên dương a,b,c,d,m,n biết a<b<c<d<m. CMR
Quảng cáo
2 câu trả lời 257
Để chứng minh bất đẳng thức
\[
\frac{a+b+m}{a+b+c+d+m+n} < \frac{1}{2}
\]
cho các số nguyên dương \( a, b, c, d, m, n \) với điều kiện \( a < b < c < d < m < n \), ta sẽ làm theo các bước sau:
### Bước 1: Phân tích biểu thức cần chứng minh
Biểu thức cần chứng minh là:
\[
\frac{a+b+m}{a+b+c+d+m+n}
\]
Chúng ta cần chứng minh rằng nó nhỏ hơn \( \frac{1}{2} \). Ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra khi nào điều này không thỏa mãn.
### Bước 2: Biến đổi bất đẳng thức
Chúng ta sẽ biến đổi và phân tích bất đẳng thức. Ta cần chứng minh:
\[
\frac{a+b+m}{a+b+c+d+m+n} < \frac{1}{2}
\]
Điều này tương đương với:
\[
2(a+b+m) < a+b+c+d+m+n
\]
### Bước 3: Rút gọn và sắp xếp các hạng tử
Rút gọn bất đẳng thức này:
\[
2(a+b+m) < a+b+c+d+m+n
\]
Ta khai triển và sắp xếp các hạng tử:
\[
2a + 2b + 2m < a + b + c + d + m + n
\]
Trừ \(a + b + m\) từ cả hai bên:
\[
2a + 2b + 2m - a - b - m < c + d + n
\]
Rút gọn:
\[
a + b + m < c + d + n
\]
### Bước 4: Sử dụng điều kiện \( a < b < c < d < m < n \)
Do \( a, b, c, d, m, n \) là các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện \( a < b < c < d < m < n \), ta có thể thấy rằng:
\[
a + b < c + d
\]
và:
\[
a + b + m < c + d + n
\]
Do đó, bất đẳng thức:
\[
a + b + m < c + d + n
\]
luôn đúng với điều kiện \( a < b < c < d < m < n \).
### Kết luận
Vì vậy, bất đẳng thức \( \frac{a+b+m}{a+b+c+d+m+n} < \frac{1}{2} \) luôn đúng cho các số nguyên dương \( a, b, c, d, m, n \) với điều kiện \( a < b < c < d < m < n \).
\[\text{Xét } S = a + b + m \text{ và } T = a + b + c + d + m + n.\]
\[\text{Ta cần chứng minh } \frac{S}{T} < \frac{1}{2}.\]
\[\text{Do } a < b < c < d < m < n \text{, ta suy ra } a, b, m \text{ là 3 số nhỏ nhất trong 6 số. Vì vậy:}\]
\[a + b + c + d > a + b + m.\]
\[\text{Gọi } u = a + b + m \text{ và } v = c + d + n.\]
\[\text{Vì } a < b < c < d < m < n \text{, ta có: } u < v.\]
\[\text{Tổng: } T = u + v \text{ và do } u < v \text{, ta suy ra } u < \frac{T}{2}.\]
\[\frac{u}{T} < \frac{1}{2}.\]
\[\text{Vì } S = u \text{, ta có } \frac{S}{T} < \frac{1}{2}.\]
\[\text{Vậy } \frac{a + b + m}{a + b + c + d + m + n} < \frac{1}{2} \text{. Đã chứng minh}.\]
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK120761
-
81498
-
59515
-
돈이없다 💸😭
435 điểm
-
반짝이는 달 420 điểm
-
야연 ✨
400 điểm
-
보고 싶어요
385 điểm
-
jet jet #
345 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
305 điểm
-
`d.`
285 điểm
-
Kiều Anh 170 điểm
-
Phát: ''đạp = niềm tin hả?''; t : ''🤫🧏''
135 điểm
-
`color{blue}text{이 글을 읽는 사람은 바보다.`베트남이 챔피언입니다.
105 điểm
-
Hung Hungdoan 100 điểm
-
baolam<3
70 điểm
-
Paris.khong.co.em...
70 điểm
-
Judy Hopps
60 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 7
-
2 năm trước4934
